Question

Somando 1 a um certo número natural, obtemos um múltiplo de 11. Subtraindo 1 desse mesmo número, obtemos um múltiplo de 8. Qual é o resto da divisão do quadrado desse número por 88?

Answer 1

Vamos chamar de "x" o número natural citado, assim temos que:
x + 1 = 11k        , para k ∈ N*ex - 1 = 8n          , para n ∈ N*
Assim, temos que:
x + 1 = 11kk = (x + 1) / 11
e
x - 1 = 8nn = (x - 1) / 8
Vamos multiplicar os números "k" e "n", assim, temos que:
k * n = ((x + 1) / 11) * ((x - 1) / 8)kn = (x² - x + x - 1) / 88kn = (x² - 1) / 88kn = (x²/88) - (1/88)
Vamos isolar o valor de x²/88:
kn = (x²/88) - (1/88)kn + 1/88 = x²/88x²/88 = kn + 1/88
Portanto, o quadrado do número "x" dividido por 88 é igual a multiplicação de "k" e "n" mais a fração 1/88.
Como os números "k" e "n" pertencem ao conjunto dos números naturais não nulos, a multiplicação entre eles também pertencerá ao conjunto dos naturais não nulos, portanto, será um número inteiro.
Logo, o resto da divisão de "x²/88" será dado pela parte fracionária do resultado, ou seja, "1/88". Essa fração ou divisão, temo como quociente "0" e resto "1".
Portanto, a divisão de "x²" por "88" tem como resto "1".