Question

Calcule a area lateral e a area total de uma piramide hexagonal regular cuja altura mede 4 cm e cada aresta da base mede 2√¯3 me expliquem pf

Answer 1

A área lateral dessa pirâmide corresponde a seis vezes (pois sua base é um hexágono) a área de um triângulo lateral, que é (m•l)/2 em que m é o apótema da pirâmide e l o lado do hexágono.

É possível observar que a altura H da pirâmide junto com seu apótema m e o apótema m' do hexágono, formam um triângulo retângulo de hipotenusa m, portanto:

$\displaystyle m^2 = H^2 + (m')^2$

O valor m' é igual a altura de um dos seis triângulos equiláteros constituintes do hexágono que é (l√3)/(2).

$\displaystyle m^2 = H^2 + \left(\frac{l \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3}}{2}\right)^2$

O valor H vale 4 e l vale 2√3:

$\displaystyle m^2 = 4^2 + \left(\frac{2 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3}}{2}\right)^2$

$\displaystyle m^2 = 16 + (\sqrt[]{3} \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3})^2$

$\displaystyle m^2 = 16 + 3^2$

$\displaystyle m^2 = 16 + 9$

$\displaystyle m = \sqrt[]{25}$

$\displaystyle m = 5$

Com o valor de m, podemos achar Al:

$\displaystyle A_l = 6 \cdot \frac{m \cdot l}{2}$

$\displaystyle A_l = 6 \cdot \frac{5 \cdot 2 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} }{2}$

$\displaystyle A_l = 6 \cdot 5 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A_l = 30 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} \hspace{0,08cm} cm^2$

Continuando, a área total será a soma da área lateral com a área da base:

$\displaystyle A_t = A_l + A_b$

A área do hexágono será seis vezes a área de cada triângulo equilátero que o compõe, sendo que a área de um triângulo equilátero é (l²√3)/(4). Dessa forma:

$\displaystyle A_t = 30 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} + 6 \cdot \frac{l^2 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3}}{4}$

$\displaystyle A_t = 30 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} + 3 \cdot \frac{(2 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} )^2 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3}}{2}$

$\displaystyle A_t = 30 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} + 3 \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} }{2}$

$\displaystyle A_t = 30 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} + 3 \cdot \frac{12 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3}}{2}$

$\displaystyle A_t = 30 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} + 3 \cdot 6 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A_t = 30 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} + 18 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A_t = 48 \hspace{0,08cm} \sqrt[]{3} \hspace{0,08cm} cm^2$

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