Question

Gostaria de Saber como faço para resolver o seguinte limite, lim (x^3+x^2)/(3x^2+x^4+x) Com X tendendo a 0

Answer 1

$\lim_{x \to 0} \frac{x^3+x^2}{3x^2+x^4+x}$

Primeiro devemos verificar se temos uma indeterminação ao substituir x por zero.:
$\lim_{x \to 0} \frac{x^3+x^2}{3x^2+x^4+x} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{0^3+0^2}{0x^2+0^4+0} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{0}{0}$

Devemos fatorar para eliminar a indeterminação. Nesse caso basta isolar x:

$\lim_{x \to 0} \frac{x(x^2+x)}{x(3x+x^3+1)} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{x^2+x}{3x+x^3+1}$

Após eliminada a nossa indeterminação . Substitui novamente o valor de x e teremos nosso resultado do limite: 

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+x}{3x+x^3+1} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{0^2+0}{3.0+0^3+1} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{0}{1} =0$

Outra maneira bem mais simples de resolver (quando temos indeterminação 0/0) é utilizar a regra de L´Hospital: (basta derivar o numerador e denominador separadamente)

$\lim_{x \to 0} \frac{x^3+x^2}{3x^2+x^4+x} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{3x^2+2x}{6x+4x^3+1} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{3.0^2+2.0}{6.0+4.0^3+1} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{0}{1} =0$