Question

Resolva, em IR, a inequação:



$\mathsf{\dfrac{2x-3}{x-1}\leq2}$


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Vamos lá.

Olá, Superaks, tudo bem? Note que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Temos a seguinte inequação que vamos resolvê-la no âmbito dos Reais:

(2x-3)/(x-1) ≤ 2 -------- vamos passar o "2" para o 1º membro, ficando:
(2x-3)/(x-1) - 2 ≤ 0 ----- com x≠1 (veja que tivemos que colocar que x≠1 para podermos aplicar o mmc, que vai ser "x-1" e, assim, podermos dividi-lo pelo denominador e o resultado que der, multiplicar pelo numerador, com a certeza de que não estaremos nem dividindo nem multiplicando nada por zero, ok?). Então, utilizando o mmc, teremos:

[1*(2x-3) - 2*(x-1)]/(x-1) ≤ 0 ---- efetuando os produtos indicados, ficamos:
[2x-3 - 2x + 2]/(x-1) ≤ 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:
(-1)/(x-1) ≤ 0 --- ou apenas:
-1/(x-1) ≤ 0 

Agora vamos analisar o que temos aí em cima:

i) Note que no numerador temos f(x) = - 1; e no denominador temos g(x) = x-1, que ao dividir uma pela outra, iremos ter, como resultado, algo menor ou igual a zero.

ii) Então faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas. Então:

f(x) = - 1 ------ veja que é uma função constante e que será sempre negativa.
g(x) = x-1 ---> raízes: x-1 = 0 ---> x = 1

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas em função das raízes. Assim:

a) f(x) = -1 ...... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x-1 .... - - - - - - - - - - - - -  (1)  + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) a/b ..............+ + + + + + + + + + (1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Agora veja: como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, o intervalo do conjunto-solução será este:

x > 1 ------ Esta é a resposta.

Aí você poderá perguntar: e por que não poderá ser MAIOR ou IGUAL a "1", já que, na inequação original, temos que f(x)/g(x) ≤ 0 ?
Resposta: porque já vimos que "x" terá que ser, forçosamente, diferente de "1" porque se fôssemos admitir que "x' pudesse ser igual a "1" estaríamos admitindo uma divisão por zero. Por isso, nada de maior ou igual a "1". Mas apenas maior do que "1", certo?

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | x > 1}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado assim, o que é  mesma coisa:

S = (1; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.