Question

Binários ⇒ UNICAMP

Para representar um número natural na base 2 (binária), escreve-se esse número como as somas das potências de 2. Por exemplo :

17 = 16 + 1 →
17 = 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ →
10001

a) Escreva 77 na base 2;

b) Quantos números naturais positivos podem ser escritos na base 2 usando-se exatamente 5 algarismos ?;

c) Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal que 1 ≤ n ≤ 2⁵⁰, qual a probabilidade de que sejam usando exatamente 45 para representar n em binário ?

Answer 1

Olá João.



A - Escreva 77 na base 2


Para passar um número natural qualquer de uma base para outra, basta fazer divisões sucessivas desse número pela base pedida

77 |_2_
 1    38 |_2_
        0    19 |_2_       
                1    9  |_2_
                      1     4  |_2_
                             0     2  |_2_
                                    0      1     

Paramos quando o quociente é menor que a base. Os restos passaram a formar esse número, sendo que a ordem dos algarismos pelo formato que eu usei será dado pelos algarismos de trás pra frente.

R:. (1001101)₂ = (77)₁₀


B - Quantos números naturais podem ser escritos na base 2 usando exatamente 5 algarismos?

O maior número na base 2 de 5 algarismos será o (11111)₂, pois o maior resto possível na divisão por 2 é o 1, então basta preencher todos os algarismos pelo maior número possível. Já o menor número possível na base 2 de 5 algarismos é o (10000)₂, o primeiro número não poderia ser o 0, já que é o menor algarismo possível, já os demais sim.

Fazendo a diferença entre esses números, temos

 11111
- 10000
   01111

Passando o resultado da diferença do maior número para o menor, para a base 10

1 . 2³ + 1 . 2² + 1 . 2¹ + 1 . 2º
     8   +     4   +      2 +      1
=   15

Então a diferença entre o maior e o menor número de 5 algarismos na base 2, é igual a 14. Somando 1 unidade a esse número obtemos o total de números que podem ser formados com 5 algarismos na base 2.

R:. 16 números


C - Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal que 1 ≤ n ≤ 2⁵º, qual a probabilidade de que sejam usados exatamente 45 algarismos para representar n binário ?

Para responder essa questão, vamos descobrir quantos números são possíveis formar na base 2, que tenham 45 algarismos.

O maior número na base 2 de 45 algarismos é um número formado por 45 algarismos 1, já o menor é formato pelo primeiro algarismo 1, seguido de 44 algarismos 0.

A diferença entre esses números será um número com 44 algarismos 1.

Vamos passar agora esse número para a base 10

1 . 2⁴³ + 1. 2⁴² + ... + 1 . 2º

Note que temos a soma de uma progressão geométrica que é dada pela fórmula

$\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^{n}-1)}{q-1}}$

Substituindo na equação, temos

$\mathsf{S_{44}=\dfrac{1\cdot(2^{44}-1)}{2-1}}\\\\\\\mathsf{S_{44}=2^{44}-1}$

Portanto, a quantidade de números na base 2 com 45 algarismos é 2⁴⁴

Vamos achar agora a quantidade de dígitos no intervalo [1, 2⁵⁰].

Para isso, basta fazer a razão entre 2⁴⁴ e 2⁵º

$\mathsf{\dfrac{2^{44}}{2^{50}}=\dfrac{1}{2^6}=\dfrac{1}{64}=0,015625}$

R:. Portanto, a probabilidade é de aproximadamente 1%.


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