Question

Função afim e inversa.

Answer 1

Se temos:
$\boxed {f(x)=ax+b}$

Vamos ver a função inversa:
$y=ax+b$
$x=ay+b$
$x-b=ay$
$\boxed {y= \frac{x-b}{a}}$
$\boxed {g(x) = \frac{x}{a} - \frac{b}{a}}$
Essa é a função inversa

Agora faremos primeiro
$f(g(x)) = a(g(x))+b$
$\boxed {f(g(x)) = a(\frac{x}{a} - \frac{b}{a})+b}$
$\boxed {f(g(x)) = (\frac{ax}{a} - \frac{ab}{a})+b}$
$\boxed {f(g(x)) = (x - b)+b}$
$\boxed {f(g(x)) = x - b+b}$
$\boxed {f(g(x)) =x}$

Agora faremos:
$\boxed {g(f(g(x)))= \frac{f(g(x))}{a} - \frac{b}{a}}$
$\boxed {g(f(g(x)))= \frac{x}{a} - \frac{b}{a}}$

Agora faremos:
$f(g(f(g(x)))) = a*g(f(g(x))) + b$
$\boxed {f(g(f(g(x))))=a(\frac{x}{a} - \frac{b}{a})+b}$
$\boxed {f(g(f(g(x))))=(\frac{ax}{a} - \frac{ab}{a})+b}$
$\boxed {f(g(f(g(x))))=(x - b)+b}$
$\boxed {f(g(f(g(x))))=x - b+b}$
$\boxed {\boxed {Resposta:f(g(f(g(x))))=x}}$