14) Dado o polinômio q (x) que satisfaz a equação x3 + ax2 - x +b = (x - 1) . q(x) e sabendo que 1
e 2 são raízes da equação x3 + ax2 - x +b = O, determine o intervalo no qual q(x) ≤0:
a) [-5, -4]
b) [-3, -2]
c) [-1, 2]
d) [3, 5]
e) [6, 7]
Respostas
Resposta:
A resposta correta é letra C
Explicação passo-a-passo:
Se 1 é raiz da equação x³ + ax² - x + b = 0
então 1 + a - 1 + b = 0, de onde a + b = 0 ou a = -b
Se 2 é raiz da equação x³ + ax² - x + b = 0
então 2³ + 2²a - 2 + b = 0, de onde 8 + 4a - 2 + b = 0 ou seja 4a + b = -6
Como a = -b: -4b + b = -6 de onde b = 2 e a = -2
Assim a equação é:
x³ - 2x² - x + 2 = (x-1) . q(x)
Passando o (x-1) dividindo fica:
q(x)= x³ - 2x² - x + 2 / (x-1)
Para resolver essa divisão podemos usar o Algorítimo de Briot-Ruffini (que encontra facilmente como usa-lo em vídeos na internet)
| 1 -2 -1 | 2
1 | 1 -1 -2 -------------> x²-x-2
Então q(x)=x²-x-2, igualando a zero encontramos as raízes -1 e 2, por ser uma função crescente, os valores que q(x) é menor que 0 estão entre -1 e 2