Question

Resolva a equação abaixo pelo método de completar quadrados.:

X ao quadrado +6x+8=0

Answer 1

✅ Após resolver a equação do segundo grau - equação quadrática - pelo método "Completar Quadrado", concluímos que seu conjunto solução é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-4,\,-2\}\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Seja a equação do segundo grau:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + 8 = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                             $\Large\begin{cases} a = 1\\b = 6\\c = 8\end{cases}$    

Para resolver esta equação pelo método completar quadrado, podemos converter a forma geral da equação dada em sua forma canônica. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} a\cdot\left[\bigg(x + \frac{b}{2a}\bigg)^{2} - \bigg(\frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}\bigg) \right] = 0\end{gathered} }$

Substituindo os coeficientes na equação "I", resolvendo e simplificando os cálculos, temos:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} 1\cdot\left[\bigg(x + \frac{6}{2\cdot1}\bigg)^{2} - \bigg(\frac{6^{2} - 4\cdot1\cdot8}{4\cdot1^{2}}\bigg)\right] = 0\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot\left[\bigg(x + \frac{6}{2}\bigg)^{2} - \bigg(\frac{36 - 32}{4}\bigg)\right] = 0\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot\left[(x + 3)^{2} - \bigg(\frac{4}{4}\bigg)\right] = 0\end{gathered}$

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot\left[(x + 3)^{2} - 1\right] = 0\end{gathered}$

                                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 3)^{2} - 1 = 0\end{gathered}$    

Chegando nesta etapa, temos a forma canônica da equação do segundo grau. Como estamos querendo resolve-la, devemos continuar com os cálculos até obter suas raízes. Então temos:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 3)^{2} = 1\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x + 3 = \pm\sqrt{1}\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x + 3 = \pm1\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \pm1 - 3\end{gathered}$

Obtendo as raízes, temos:

                              $\Large\begin{cases} x' = -1 - 3 = -4\\x'' = 1 - 3 = -2\end{cases}$

✅ Portanto, o conjunto solução da equação do segundo grau é:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-4,\,-2\}\end{gathered}$

 

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