Question

Calcule a integral de linha, em que C é a curva dada.

a) ∫c y ds, C: x=t², y= t, 0 ≤ t ≤2

b) ∫c xy³ ds, C: x= 4sent, y= 4cos t , z=3t, 0≤ t ≤ $\frac{ \pi}{2}$

Answer 1

A)

Seja r = xi + yj + zk

Sendo que, dz = 0, com isso torna-se apenas:

$r = xi+yj$


Ou seja, 

$r = t^2i+tj$

Por outro lado,

$\\ \frac{dx}{dt} = \frac{d(t^2)}{dt} \\ \\ \frac{dx}{dt} = 2t$

E

$\\ \frac{dy}{dt} = \frac{d(t)}{dt} \\ \\ \frac{dy}{dt} = 1$

Sabendo que:

$\\ ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt} )^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt} )^2} dt\\ \\ Portanto, \\ \\ ds = \sqrt{(2t)^2+(1)^2+(0)^2}dt = \sqrt{4t^2+1}dt$

Tinhamos a integral de linha de "yds"

Substituindo y = t 

E "ds" pela raiz encontrada

$\int\limits^2_0 {t} \, \sqrt{4t^2+1} dt$

Fazendo "u" = 4t² + 1

$\\ u = 4t^2+1 \\ \\ \frac{du}{dt} = 8t + 0 \\ \\ \frac{du}{8} = tdt$
------------------------------

Substituindo na integral acima:

$\int\limits^2_0 {t \sqrt{4t^2+1} } \, dt = \int\limits^2_0 { \sqrt{u} } \, \frac{du}{8}$

Vamos mudar o limite de integração, fica mais fácil

Tinhamos , u = 4t²+1

Para t = 0

U₀ = 1


Para t = 2

U₂ = 17
-----------------------------

Então,

$\\ = \int\limits^ \frac{17}{} _1 { \sqrt{u} } \, \frac{du}{8} \\ \\ = \int\limits^ \frac{17}{} _1 {u^ \frac{1}{2} } \, \frac{du}{8} \\ \\ = \frac{u^ \frac{3}{2} } { \frac{3}{2} } . \frac{1}{8} |(1,17) \\ \\ = \frac{ \sqrt{u^3} } {12} |(1,17) \\ \\ = \frac{ \sqrt{17^3} } {12}-\frac{ \sqrt{1^3} } {12} \\ \\ = \frac{ 17\sqrt{17} } {12}-\frac{ 1} {12} \\ \\ = 5,7577$
-----------------------------------------


B)

Para "r = xi + yj + zk = 4senti +4costj +3tk

Sendo que:

$\\ \frac{dx}{dt} = \frac{d(4sent)}{dt} = 4cost \\ \\ \frac{dy}{dt} = \frac{d(4cost)}{dt} = -4sent \\ \\ \frac{dz}{dt} = \frac{d(3t)}{dt} = 3 \\ \\ Portanto, \\ \\ ds = \sqrt{( \frac{dx}{dt})^2+ (\frac{dy}{dt})^2+( \frac{dz}{dt} )^2 }dt   \\ \\ ds = \sqrt{(4cost)^2+(-4sent)^2+(3)^2}dt   \\ \\ ds = \sqrt{16cos^2t+16sen^2t+9}dt  \\ \\ \\ \\ ds = \sqrt{16(cos^2t+sen^2t)+9}dt   \\ \\ Mas, cos^2+sen^2t = 1 \\ \\ ds = \sqrt{16+9}dt = 5dt$

Sendo, x = 4sent e y = 4cost

xy³ = (4sent).(4cost)³

xy³ = 4sent . 64cos³t

xy³ = 256 sent . cos³t
-----------------------------------------

∵

$\\ \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _ 0 {256 .sent.cos^3t . (5dt)} \, \\ \\ Com, u = cost \\ \\ du = -sent dt \\ \\ -du = sent dt$

alterando os limites de integração para "u"

Tinhamos que:

u = Cost

Pata t = 0

u = Cos(0) = 1

Pata t = π/2

u = Cos(π/2) = 0
----------------------------

Então, ficamos que:

$\\ = \int\limits^0_1 {256.u^3} \,.5.( -du) \\ \\ = -256 . \frac{5u^4}{4} |(1,0) \\ \\ =5[ -256 . (0^4/4) - (-256 . 1^4/4)] \\ \\ = 5[0 +256 /4] \\ \\ = 5 (64) \\ \\ = 320$

Answer 2

a) O valor da integral é aproximadamente, $5,7577$.

b) O valor da integral é $320$.

Integral de Linha

As integrais de linhas são aplicadas na integração de curvas parametrizadas (sistema de coordenadas polares). Dessa forma faz-se necessário através de operações convenientes apresentar a função em uma única variável retornando para o sistema de coordenadas cartesianas).

a) Para obtermos o valor da integral para a curva $c$

$\int_c y \ ds, \ c:x=t^2, \ y=t, \ 0\leq t\leq 2$

vamos inicialmente retornar para o sistema de coordenadas cartesianas.

$r(t)=\langle x,y\rangle \\\\r(t)=\langle t^2, t\rangle$

Derivando $r(t)$ em relação a $t$ obtemos:

$r'(t)=\langle 2t, 1\rangle$

Calculando o módulo de $r'(t)$:

$|r'(t)|=\sqrt{4t^2+1}$

Mas como,

$|r'(t)|=\dfrac{ds}{dt}$

$\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{4t^2+1}\\\\ds=\sqrt{4t^2+1} \ dt$

Substituindo as informações na integral de linha temos:

$\int_c \ y \ ds=\int_0^2 \ t\cdot \sqrt{4t^2+1} \ dt$

Fazendo,

$u=4t^2+1\\\\du=8t \ dt\\\\dt=\dfrac{du}{8t}$

Ajustando os termos vamos obter a seguinte integral:

$\dfrac{1}{8}\cdot \int_0^2 \ u^\frac{1}{2} \ du=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot u^\frac{3}{2} \mid_0^2=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot (4t^2+1)^\frac{3}{2} \mid_0^2\ \approx 5,7577$

b) Para obtermos o valor da integral para a curva $c$

$\int_c xy^3 \ ds, \ c:x=4\sin t, \ y=4\cos t, z=3t, \ 0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$

vamos inicialmente retornar para o sistema de coordenadas cartesianas.

$r(t)=\langle x,y,z\rangle \\\\r(t)=\langle 4\sin t, 4\cos t, 3t\rangle$

Derivando $r(t)$ em relação a $t$ obtemos:

$r'(t)=\langle 4\cos t, -4\sin t, 3\rangle$

Calculando o módulo de $r'(t)$:

$|r'(t)|=\sqrt{16\cos^2t+16\sin^2 t+9}=5$

Mas como,

$|r'(t)|=\dfrac{ds}{dt}$

$\dfrac{ds}{dt}=5\\\\ds=5 \ dt$

Substituindo as informações na integral de linha temos:

$\int_c \ xy^3 \ ds=\int_0^\frac{\pi}{2} \ 4\sin t\cdot 64\cos^3t\cdot 5 \ dt=1280\int_0^\frac{\pi}{2} \ \sin t\cdot \cos^3t \ dt$

Fazendo,

$u=\sin t\\\\du=\cos t \ dt\\\\dt=\dfrac{du}{\cos t}$

Ajustando os termos vamos obter a seguinte integral:

$1280\cdot \int_0^\frac{\pi}{2} \ u-u^3 \ du=1280\cdot \left[\dfrac{u^2}{2}-\dfrac{u^4}{4}\right]\mid_0^\frac{\pi}{2}=1280\cdot \left[\dfrac{\sin^2t}{2}-\dfrac{\sin^4t}{4}\right]\mid_0^\frac{\pi}{2}\ =320$

Para saber mais sobre integrais de linha acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/27002445