Question

Areias coloridas muito muito muito finas são utilizadas para a produção de peças artísticas como os vasos ilustrados a seguir.



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Suponhamos que dois baldes A e B contenham, inicialmente, a mesma quantidade de areia colorida.


No balde A, 13 da sua areia é branca e os outros 23 da sua areia é preta.


No balde B acontece o contrário: 23 da sua areia é branca e os outros 13 da sua areia é preta.



Suponhamos que as areias nos baldes A e B estejam muito bem misturadas, de forma homogênea e considere que, a partir desta situação inicial, foram realizadas, ordenadamente, as seguintes transferências de areia.


metade da areia do balde A é jogada no balde B.


a areia no balde B é, então, muito bem misturada de modo que a mistura de areia branca e preta no balde B seja homogênea.


finalmente metade da areia do balde B é devolvida para o balde A, que também é misturado de forma homogênea.



Após estas duas transferências de areia, qual é a razão de areia preta no balde A em relação ao total de areia neste balde?

Answer 1

Para resolver esse problema vamos ter que trabalhar com frações e proporção. Como teremos algumas somas, vou deixar para simplificar as frações somente no final.

Os dois baldes possuem a mesma quantia de areia, e cada balde foi divido em três partes. Cada balde possui a metade do total de areia. Vamos calcular quanto de cada cor cada balde possui com relação ao valor total.

Balde A:

Branca:

1/3 * 1/2 = 1/6 branca

Preta:

2/3 * 1/2 = 2/6 preta

Balde B:

Branca:

2/3 * 1/2 = 2/6 branca

Preta:

1/3 * 1/2 = 1/6 preta

A metade da areia de A:

Branca:

1/6 * 1/2 = 1/12 branca

Preta:

2/6 * 1/2 = 2/12 preta 

É jogada em B, vamos somar:

Branca:

2/6 + 1/12 [mmc]

4/12 + 1/12 = 5/12 branca

Preta:

1/6 + 2/12 [mmc]

2/12 + 2/12 = 4/12 preta

Agora a metade do que está em B:

Branca: 

5/12 * 1/2 = 5/24 branca

Preta:

4/12 * 1/2 = 4/24 preta

É devolvido a A, vamos somar o que ficou em A, mais o que veio de B:

Branca:

1/12 + 5/24

2/24 + 5/24

7/24 branca

Preta:
2/12 + 4/24 [simplificando as duas]

1/6 + 1/6 = 2/6 preta

Agora temos no balde A 7/24 de areia preta e 2/6 de areia branca, com relação ao total. O exercício pede apenas a quantia de areia preta com relação ao que possui no balde. Como a areia de A era a metade do total, esse valor é o dobro do que existe somente em A. Basta dobrar o valor da areia preta:

7/24 * 2 = 14/24 [simplifica]

7/12 de areia preta.

A razão é: há 7/12 da areia em A é preta.