Question

[Funçao exponencial] Bom pessoal, estou em duvida na hora de desenvolver em R (real) 2 funçoes. Eu estudei funçoes hj e n consigo fazer. [segue imagem]

a) 10^x + 5^x / 20^x = 6

b) 10^x + 20^x / 1 + 2^x = 100

Answer 1

a) Temos:

$\displaystyle \frac{10^x+5^x}{20^x} = 6$

Vamos escrever 10 e 20 em multiplicações de fatores primos: 10 = 2 . 5 e 20 = 2 . 2 . 5. Assim, teremos:

$\displaystyle \frac{ (2 \cdot 5)^x + 5^x}{(2 \cdot 2 \cdot 5)^x} = 6$

Nessa expressão é válida a seguinte propriedade: (a . b)ⁿ = aⁿ. bⁿ. Dessa forma:

$\displaystyle \frac{2^x \cdot 5^x + 5^x}{2^x \cdot 2^x \cdot 5^x} = 6$

Devemos prosseguir fazendo uma substituição nas variáveis, ou seja, podemos dizer que 2ˣ = a e que 5ˣ = b, assim teremos:

$\displaystyle \frac{ab + b}{a^2 + b} = 6$

É conveniente pôr "b" em evidência:

$\displaystyle\frac{b (a + 1)}{a^2b} = 6$

Assim podemos cancelar "b" com "b", restando:

$\displaystyle \frac{a+1}{a^2} = 6$

$\displaystyle a+1 = 6a^2$

$\displaystyle 6a^2 - a - 1 = 0$

Diante de uma equação quadrática, usamos Bhaskara, no qual Δ será:

Δ = (-1)² - 4 (6)(-1) = 1 + 24 = 25

E a primeira raíz será:

$\displaystyle a' = \frac {- (-1) + \sqrt[]{25}}{2 \cdot 6}$

$\displaystyle a' = \frac{1 + 5}{12}$

$\displaystyle a' = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

E a segunda raíz será:

$\displaystyle a'' = \frac{1 - 5}{12}$

$\displaystyle a'' = \frac{- 4}{12} = \frac{- 1}{3}$

Como a segunda raíz não satisfaz 2ˣ = a, usaremos a primeira, em que teremos:

$\displaystyle 2^x = a$

$\displaystyle 2^x = \frac{1}{2}$

$\displaystyle 2^x = 2^{-1}$

$\displaystyle \therefore x =- 1$

b) Semelhantemente, faremos uma substituição como no item a: 2ˣ = a; 5ˣ = b. Assim, obtemos:

$\displaystyle \frac{10^x + 20^x}{1 + 2^x} = 100$

$\displaystyle \frac{2^x \cdot 5^x + 2^x \cdot 2^x \cdot 5^x}{1 + 2^x} = 100$

$\displaystyle \frac{ab + a^2 b}{1 + a}$

Colocamos ab em evidência:

$\displaystyle \frac{ab (1+a)}{1+a} = 100$

$\displaystyle ab = 100$

É importante notar que 100 = 2². 5² e que ab = 100 ⇒ 2ˣ. 5ˣ = 100 ⇒ 2ˣ. 5ˣ = 2². 5², portanto x = 2.

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