Question

Me ajudem a resolver essa conta '-'

Determine o valor de x e y, de modo que a sequência (2, x , y) seja uma P.A. de termos positivos e a sequência (x+2, 12, 4y) seja uma P.G.

Answer 1

Para uma progressão ser considerada aritmética, é necessário que a diferença entre os termos seja sempre a mesma. Por ex: (2,6,10,14) 
6-2 = 10-6 = 14-10 = 4, onde 4 é a razão de progressão. 

Já na progressão geométrica, teremos que a divisão entre os termos seguintes e os termos anteriores deve dar sempre o mesmo valor. Por ex: (3,9,27,81,243)
9/3 = 27/9 = 81/27 = 243/81 = 3. 

Então, podemos aplicar isso na questão.
 
Na P.A 

x-2 = y-x

Na P.G

4y/12 = 12/x+2

Podemos simplificar e fazer: 

y/3 = 12/x+2

E podemos agora multiplicar, e teremos: 

3. 12 = y(x+2)

36 = yx + 2y

Agora, para resolver esse sistema, podemos usar o método da substituição. Para isso, vamos voltar a primeira equação, da PA. 

x-2 = y-x 
Podemos isolar o x para substituir na equação que encontramos. 

x = 2+y-x
2x = 2+y
x= (2+y)/2

Podemos agora substituir esse x em: 36 = yx + 2y

36 = y(2+y)/2 + 2y

Agora temos uma equação com uma incógnita apenas. 

36 = (2y+y²)/2 + 2y 

Podemos fazer o MMC, e teremos: 

36 = [(2y+y²) + 4y]/2

Agora passamos o 2 multiplicando, e teremos:

72 = 2y + y² + 4y
72 = y² + 6y

Agora basta, resolver a equação de 2º grau por Bháskara ou soma e produto. 

y² + 6y - 72 = 0

Encontraremos os valores de y possíveis para resolver esse problema: 

y1 = -12 
y2 = 6

Então, basta aplicarmos em x-2 = y-x para encontrarmos o x. 

x-2 = -12 - x
2x = -10 
x = -5. 

Agora, aplicamos esses valores na PA e na PG e veremos se de fato dá certo. 

PA = (2, -5, -12). Essa PA não faz o menor sentido. Na verdade, nem podemos chamar de PA, porque não tem uma lei de crescimento. Então vamos testar com y = 6.

x-2 = y-x
2x = y+2
2x = 8 
x = 4. 

Agora, aplicando na PA: 

(2,4,6). Essa PA faz sentido, pois a razão é 2. 

E agora na PG:

(4+2, 12, 6.4) = (6,12,24)
 
A PG tb faz sentido, pois ela cresce de acordo de uma razão bem definida. 

Foi um pouco cansativo, eu sei, mas espero que tenha entendido. 

Answer 2

Olá.

Temos então:
P.A = {2, x , y}
P.G = {x + 2, 12, 4y}

Na P.A, temos que a razão é dada por um número menos seu antecessor.
Assim, temos:
$\mathsf{r=x-2=y-x}$

Nos focando apenas nos valores de r, temos:
$\mathsf{x-2=y-x}\\\\ \mathsf{x+x-2=y}\\\\ \mathsf{2x-2=y}$

Obtemos um valor para y em relação a x.

Agora, usaremos uma outra propriedade, dessa vez de P.G: a razão de uma P.G é dada por um número dividido por seu antecessor, ou seja:
$\mathsf{r=\dfrac{12}{x+2}=\dfrac{4y}{12}}$

Nos foquemos no valor obtido para r.
$\mathsf{\dfrac{12}{x+2}=\dfrac{4y}{12}}\\\\\\ \mathsf{4y\cdot(x+2)=12\cdot12}\\\\ \mathsf{4yx+8y=144}$

Usando o valor obtido para y anteriormente (y=2x-2), vamos substituir e continuar:
$\mathsf{4yx+8y=144}\\\\ \mathsf{4\cdot(2x-2)\cdot x+8\cdot(2x-2)=144}\\\\ \mathsf{(8x-8)\cdot x+16x-16=144}\\\\ \mathsf{8x^2-8x+16x-16=144}\\\\ \mathsf{8x^2+8x-16-144=0}\\\\ \mathsf{8x^2+8x-160=0}$

Podemos, agora, fazer uma fatoração com essa equação de 2 grau:
$\mathsf{8x^2+8x-160=0}\\\\ \mathsf{8\cdot(x^2+x-20)=0}\\\\ \mathsf{8\cdot(x-4)(x+5)=0}$

Igualamos os valores dentro de parênteses a zero e obtermos os 2 valores possíveis:
(x - 4) = 0
x = 4

(x + 5) = 0
x = -5

x = {-5, 4}

Sabendo que a P.A tem de ser crescente, obrigatoriamente, o valor de x tem de ser positivo. Assim, temos x = 4.

Usando o valor adquirido para y anteriormente, basta completar nossa equação.
$\mathsf{y=2x-2}\\\\ \mathsf{y=2\cdot(4)-2}\\\\ \mathsf{y=8-2}\\\\ \mathsf{y=6}$

Temos x = 4 e y = 6.

Vamos dar uma olhada nas progressões?
$\mathsf{P.A = \{2,~x,~y\}~~~e~~~P.G=\{x + 2,~12,~4y\}}\\\\ \mathsf{P.A = \{2,~4,~6\}\checkmark~e~~~P.G=\{4 + 2,~12,~4\cdot6\}}\\\\ \boxed{\mathsf{P.A = \{2,~4,~6\}\checkmark~e~~~P.G=\{6,~12,~24\}}\checkmark}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.