Question

de a solução da inequação 1/x-1 <2/x-2

Answer 1

1/x-1 < 2/x-2
x - 2 < 2(x-1)
x - 2 < 2x - 2
-2 + 2 < 2x - x
0 < x
x > 0

Espero ter ajudado!

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Mariana, que a resolução é simples.
Tem-se:

1/(x-1) < 2/(x-2) , com x≠1 e x≠2 (note: não existia estas observações. Nós é que colocamos que "x" deverá ser diferente de "1" e de "2", pois são as condições de existência. Note, a propósito, que se "x" for igual a "1" ou igual a "2", o denominador iria ser zero e isso não existe, ou seja, não existe divisão por zero. Daí termos colocado a observação de x≠1 e x≠2, ok?).
Bem, continuando, vamos repetir a nossa expresão, que é esta:

1/(x-1) < 2/(x-2) ---- vamos passar o 2º membro para o 1º, ficando assim:
1/(x-1) - 2/(x-2) < 0 ----- mmc = (x-1)*(x-2) (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[(x-2)*1 - (x-1)*2]/[(x-1)*(x-2)] < 0 ---- efetuando os produtos indicados no numerador, teremos;

[(x-2) - (2x-2)]/[(x-1)*(x-2)] < 0 ---- retirando-se os parênteses do numerador, teremos:

[x-2 - 2x+2]/[(x-1)*(x-2)] < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador, teremos:

[-x]/[(x-1)*(x-2)] < 0 ---- veja que, para facilitar, poderemos multiplicar toda a expressão por "-1" para que não fique negativo o numerador. Se fizermos isso iremos ficar assim (note: quando se multiplica uma inequação por "-1", o seu sentido muda: o que era "<" passa pra ">" e vice-versa). Assim:

x/[(x-1)*(x-2) > 0

Agora veja: ficamos com uma função no numerador (f(x) = x) e outra no denominador (g(x) = (x-1)*(x-2), e cujo resultado da divisão de f(x) por g(x)  terá que ser, agora, MAIOR DO QUE ZERO.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma dessas equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas. Assim:

f(x) = x ---> raízes: x = 0
g(x) = (x-1)*(x-2) ---> raízes: (x-1)*(x-2) = 0 ---> x-1 = 0 --> x = 1; e x-2 = 0 --> x = 2 .

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações. Assim:

a) f(x) = x ................ - - - - - - - - - - - (0) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = (x-1)*(x-2)... + + + + + + + + + + + + ++ (1)- - - - - (2)+ + + + + + + + + + + +
c) a/b ........................ - - - - - - - - - -(0)+ + + ++(1)- - - - - (2)+ + + + + + + + + + + +

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja MAIOR DO QUE ZERO, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, os intervalos do conjunto-solução da inequação dada serão estes:

0 < x < 1,  ou x > 2 -------- Esta é a resposta.

Se quiser, você poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | 0 < x < 1, ou x > 2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = (0; 1) ∪ (2; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.