Question

(CEPBJ) Qual a medida da área da coroa circular limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um hexágono de lado igual a 4 centímetros?

Answer 1

Olhe o anexo !

A área pedida é a área em azul claro...

O raio da circunferência inscrita é igual ao apótema do hexágono, que, por sua vez, é igual à altura dos triângulos equiláteros formados internamente...

Do anexo, podemos dizer que o hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros, e que a altura h de algum desses triângulos corresponde ao raio da circunferência inscrita.

Para o triângulo equilátero, temos :

h = L * √3 / 2

Sendo L = 4 cm (igual ao lado do hexágono) :

h = 4 * √3 / 2

h = 2 * √3 cm

Como visto, essa altura é igual ao raio r da circunferência inscrita (em amarelo) :

r = h

r = 2 * √3 cm ⇒ Raio da circunferência amarela !

Para a circunferência maior, o seu raio R é igual ao próprio lado L do hexágono.

Analisando, vemos que a área da coroa circular (chamarei de Ac) (parte azul clara) é a área da circunferência maior (de raio R, que chamarei de AR) menos a área da circunferência menor (amarela, de raio r, que chamarei de Ar).

Ac = AR - Ar

A = π * r² 

A → Área de uma circunferência;
r → Raio dessa circunferência...

Ac = π * R² - π * r²         ⇒ π em evidência :

Ac = π * (R² - r²)

Como visto, R → L = 4 cm e r → h = 2 * √3 cm :

Ac = π * (4² - (2 * √3)²)

Ac = π * (16 - 4 * 3)

Ac = π * (16 - 12)

Ac = π * 4

Ac = 4 * π cm² ⇒ Área da coroa circular !