Question

Olá, bom dia! Alguém pode me ajudar na resolução dos exercícios abaixo?

Nos exercícios 5 e 6 encontrar a derivada das funções dadas:

5) G(x) = x²-1/ x4 +1
6) G(x) = 3x² + 3 /5x -3

Obrigada ^^

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anacecília, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar as derivadas das seguintes funções:

5) f(x) = (x²-1)/(x⁴+1)
6) g(x) = (3x³+3)/(5x-3)

Agora vamos tentar fazer pela regra de cadeia, que é esta:

y = u/v, o que dá como a derivada: y' = (u'.v - u.v')/v²

i) Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então vamos aplicar a regra de cadeia na questão "5", que é esta:

f(x) = (x²-1)/(x⁴+1) ---- veja que em y = u/v, temos: u = (x²-1) e v = (x⁴+1). Assim, aplicando a regra de cadeia, teremos;

f'(x) = [2x*(x⁴+1) - (x²-1)*(4x³)](x⁴+1)² ---- desenvolvendo, teremos:
f'(x) = [(2x⁵+2x) - (4x⁵-4x³)]/(x⁴+1)² --- retirando-se os parênteses do numerador, ficaremos:

f'(x) = [2x⁵+2x - 4x⁵+4x³]/(x⁴+1)² --- reduzindo os termos semelhantes no numerador, teremos;

f'(x) = [-2x⁵ + 4x³ + 2x]/(x⁴+1)² <--- Esta é a resposta para a questão "5". Ou seja, esta é a derivada da função f(x) = (x²-1)/(x⁴+1).

ii) Agora vamos aplicar a regra de cadeia na questão "6", que é esta:

g(x) = (3x²+3)/(5x-3) ----- veja que em y = u/v, temos: u = 3x²+3 e v = 5x-3. Assim, aplicando a regra de cadeia na função "6", teremos:

g'(x) = [(6x)*(5x-3) - (3x²+3)*(5)]/(5x-3)² --- efetuando os produtos indicados:
g'(x) = [30x²-18x) - (15x²+15)]/(5x-3)² --- retirando-se os parênteses, temos:
g'(x) = [30x²-18x - 15x²-15]/(5x-3)² --- reduzindo os termos semelhantes:
g'(x) = [15x² - 18x - 15]/(5x-3)² ---- se você quiser, poderá colocar "3" em evidência no numerador, pois todos os fatores são múltiplos de "3". Então:

g'(x) = 3*(5x² - 6x - 5)/(5x-3)² <-- Esta é a resposta para a questão "6". Ou seja, esta é a derivada da função g(x) = (3x²+3)/(5x-3).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.