Question

As medidas dos lados de um triângulo são expressas em ordem crescente por x-4, 2x-6 e 3x-14. Determine o valor da medida da hipotenusa desse triângulo

Answer 1

 As medidas estão em ordem crescente logo a hipotenusa mede 3x-14 e as outras medidas são os catetos.
 Pelo teorema de Pitágoras temos que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa:

a²+b²=c²

 Basta substituir pelos valores que temos:

(x-4)²+(2x-6)²=(3x-14)²


 Basta resolver os produtos notáveis (quadrado da soma)

x²-8x+16+4x²-24x+36=9x²-84x+196

 Somar os termos semelhantes:

5x²-32x+52=9x²-84x+196

-4x²+52x-144=0

Bháskara...

Δ=b²-4ac
Δ=(52)²-4(-4)(-144)
Δ=2704-2304
Δ=400

-b+-√Δ/2a

x'(-52+20)/-8
x'=-32/-8
x'=4

x''(-52-20)/-8
x''=-72/-8
x''=9

 S{4,9}

 Substituindo nas equaçoes iniciais:

x=4

4-4
2(4)-6
3(4)-14

 O primeiro cateto mediria 0, visto que isso é impossível podemos descartar o 4 como solução

x=9

9-4
2(9)-6
3(9)-14

5
12
13

 Os catetos medem 5 e 12 e a hipotenusa mede 13...
 Não esqueça a unidade de medida!

Answer 2

Resposta:

O valor da hipotenusa é 13

Explicação passo-a-passo:

Temos um triângulo retângulo e o seu maior lado é a hipotenusa que corresponde a 3x-14. Lembre-se as medidas estão em ordem crescente.

Teorema de Pitágoras

hipotenusa²=cateto_a²+cateto_b²

(3x-14)²=(x-4)²+(2x-6)²

9x²-84x+196=(x²-8x+16)+(4x²-24x+36)

4x²-52x+144=0 (÷4)

x²-13x+36=0

$Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-13x+36=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-13~e~c=36\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-13)^{2}-4(1)(36)=169-(144)=25\\\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-13)-\sqrt{25}}{2(1)}=\frac{13-5}{2}=\frac{8}{2}=4\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-13)+\sqrt{25}}{2(1)}=\frac{13+5}{2}=\frac{18}{2}=9\\\\S=\{4,~9\}$

Para x=4

hipotenusa=3x-14=3*4-14=12-14=-2 (não existe medida negativa - descartar o x=4)

Para x=9

hipotenusa=3x-14=3*9-14=27-14=13

cateto_a=x-4=9-4=5

cateto_b=2x-6=2*9-6=18-6=12

As medidas do triângulo retângulo em ordem crescente são 5,12 e 13.