Question

se a sequência (x, 3x + 2, 10 x + 12) é uma PG determine a soma dos seus 100 primeiros termos.

Answer 1

Temos

a₁ = x
a₂ = 3x + 2
a₃ = 10x + 12

Dentre três termos consecutivos de uma P.G., o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos outros dois:

(3x + 2)² = x.(10x + 12)
(3x + 2)² = 10x² + 12x
9x² + 12x + 4 = 10x² + 12x
10x² + 12x – 9x² – 12x – 4 = 0
x² – 4 =
x² = 4
x = ± √4
x = ± 2

Considerando que x = 2, a P.G. = (2, 8, 32, ... ).

A soma dos termos de uma P.G. é expressa pela fórmula:

$\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Em que q = razão e n = número de termos.

A razão q = a₂/a₁ = 8/2 = 4.

A soma dos cem primeiros termos será:

$\displaystyle S_{100} = 2 \cdot \frac{4^{100} - 1}{2 - 1}$

$\displaystyle S_{100} = 2 \cdot \frac{4^{100} - 1}{2 - 1}$

$\displaystyle S_{100} = 2 \cdot (4^{100} - 1)$

Como 4¹⁰⁰ é um número muito grande, a resposta fica como está.

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