Question

Uma equação do 3º grau tem como raízes os números 2, 3 e -1.Uma expressão possível para esta equação é:

Answer 1

Tem um teorema que é próprio nesse caso é esse;

f(x) = (x-x1).(x-x2).(x-x3)

onde no lugar de x1,x2 e x3 coloca as raízes dadas pelo problema; assim;

f(x) = (x-2).(x-3).(x+1)

fazendo os calculos;

(x-2).(x-3) = 
x² - 3x - 2x + 6
x² - 5x + 6 . (x+1)
x³ + x² -5x² - 5x + 6x + 6

então o polinomio procurado é;

x³ - 4x² + x + 6

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação do terceiro grau procurada é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf eq: x^{3} - 4x^{2} + x + 6 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as raízes da equação:

                          $\Large\begin{cases} x' = 2\\x'' = 3\\x''' = -1\end{cases}$

Para montar uma equação do terceiro grau a partir das raízes devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')\cdot(x - x'')\cdot(x - x''') = 0\end{gathered}$

Substituindo as raízes na equação "I", resolvendo e simplificando os cálculos, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 2)\cdot(x - 3)\cdot(x - (-1)) = 0 \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 2)\cdot(x - 3)\cdot(x + 1) = 0 \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[(x - 2)\cdot(x - 3)\right]\cdot(x + 1) = 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[x^{2} - 5x + 6\right]\cdot(x + 1) = 0\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{3} - 4x^{2} + x + 6 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação procurada é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} eq: x^{3} - 4x^{2} + x + 6 = 0\end{gathered}$

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