Question

Um prisma hexagonal regular tem 24 cm como perimetro de uma de suas bases e a medida da altura é igual a 7 sobre 2 da medida da apotema da base.obtenha
a) a medida da altura do prisma
b) área total do prisma
c) o volume

Answer 1

a)

A base do prisma é um hexágono regular que possui seis lados iguais. Como seu perímetro é 24 cm, então seu lado l = 24 ÷ 6 = 4 cm.

O apótema m de um hexágono é o segmento que liga o seu centro ao ponto médio entre dois vértices consecutivos.

Ele também pode ser dividido em seis triângulos equiláteros.

A medida m coincide com a altura h de um desses triângulos e como a altura de um triângulo equilátero é igual a l√3 / 2, temos:

$\displaystyle m = h$

$\displaystyle m = \frac{l \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}}{2}$

$\displaystyle m = \frac{4 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}}{2}$

$\displaystyle m = 2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \, \, cm$

A altura h' = 7/2 . m, logo:

$\displaystyle h' = \frac{7}{\not2} \cdot \not2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle h' = 7 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \, \, cm$

b)

A área total desse prisma é igual ao dobro da área da base mais a área lateral. A área de um hexágono é:

$\displaystyle A_b = \frac{3}{2} \cdot l^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A_b = \frac{3}{2} \cdot 4^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A_b = \frac{3}{2} \cdot 16 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A_b = 3 \cdot 8 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A_b = 24\hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \, \, cm^2$

A área lateral vai ser 6 . l . h':

$\displaystyle A_l = 6 \cdot 4 \cdot 7 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A _l = 168 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \, \, cm^2$

Assim, a área total assume o valor:

$\displaystyle A_t = 2 \cdot A_b + A_l$

$\displaystyle A_t = 2 \cdot 24\hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} + 168 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A_t = 48 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} + 168 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle A_t = 216 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \, \, cm^2$

c)

O volume V de um prisma corresponde a área da base vezes sua altura:

$\displaystyle V = A_b \cdot h'$

$\displaystyle V = 24\hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \cdot 7 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle V = 24 \cdot 7 \cdot \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \cdot \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle V = 168 \cdot 3$

$\displaystyle V = 504 \, \, cm^3$

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