Question

Quem puder ajudar agradeço! Como derivar esta equação: v = (1 - t) (1 + t²)^-1 

Answer 1

Pode usar a regra do produto:

f(x)=u.v 
f'(x)=u'.v+u.v'

u=(1-t)   e v =(1+t²)⁻¹

f(x)=(1-t).(1+t²)⁻¹
f'(x)=(1-t)'.(1+t²)⁻¹ + (1-t).(1+t²)⁻¹ '
f'(x)= -1  . (1+t²)⁻¹ + (1-t).-1(1+t²)⁻².2t
f'(x)=-1.(1-t²)⁻¹ - 2t(1-t)(1+t²)⁻²           (Pôr em evidência (1-t²) que se repete nos fatores)
f'(x)=(1+t²)⁻² (-1(1+t²) - 2t(1-t) )
f'(x)=(1+t²)⁻² (-1-t² - 2t+2t²) 
f'(x)=(1+t²)⁻² (t² - 2t-1)      

Poderia deixar dessa forma, mas se quiser dar uma melhorada é só passar os que estão com expoente negativo para o denominador. Dessa forma:
f'(x)=(1+t²)⁻² (t² - 2t-1) 
f'(x)= t²-2t-1 / (1+t²)² 

As duas formas estão corretas. Depende de como o seu professor aceita. Ou se for uma questão de múltipla escolha é sempre bom ter as duas formas (que são a mesma função)

Outra forma de fazer é utilizar a regra do quociente: 

f(x)=u.v 
f'(x)=u'.v-u.v' / v²

u=(1-t)   e v =(1+t²)

f(x)= (1-t) /(1+t²)

f'(x)= (1-t)'.(1+t²) - (1-t).(1+t²)' / (1+t²)²
f'(x)= -1.(1+t²)  - (1-t).2t  /  (1+t²)²
f'(x)= -1-t²  -2t(1-t)  /  (1+t²)²
f'(x)= -1-t²  -2t+2t²  /  (1+t²)²
f'(x)= (t² -2t-1  )/  (1+t²)²