Question

$Resolva\ :\\\\ y''\ +\ 2y'\ -3y\ =\ 0\\\\Para\ \ y'(0)=3\ \ e\ \ y(0)=1$

Answer 1

Olá


EDO 2ª ORDEM, PVI.



y'' + 2y' - 3y = 0
y(0) = 1
y'(0) = 3


Equação característica

E.C.: k² + 2k - 3 = 0

Δ = 16

k1 = -3
k2 = 1


$\mathsf{y=C_1e^{k_1x}~+~C_2e^{k_2x}}$

$\mathsf{y = C_1e^{-3x}+C_2e^{x}}$



PVI

P/ y

Para y = 1, x = 0


P/ y'

Para y = 3, x = 0


Vamos então primeiramente encontrar y'


$\displaystyle \mathsf{y = C_1e^{-3x}+C_2e^{x}}\\\\\\\mathsf{y' = -3C_1e^{-3x}+C_2e^{x}}$



Substituindo o valor inicial em y'

y'(0) = 3


$\mathsf{y' = -3C_1e^{-3x}+C_2e^{x}}\\\\\\\mathsf{3 = -3C_1^{-3\cdot(0)}~+~C_2e^0}\\\\\\\boxed{\mathsf{3 = -3C_1+C_2}}\qquad\qquad\qquad \Longleftarrow\qquad\qquad Guarde~essa~ informacao}$



Substituindo o valor inicial em y

y(0) = 1


$\mathsf{y = C_1e^{-3x}+C_2e^{x}}\\\\\\\mathsf{1 = C_1e^{-3\cdot (0)}+C_2e^0}\\\\\\\boxed{\mathsf{1=C_1+C_2}}$



Agora vamos montar um sistema 2x2 com o que encontramos ao substituir no PVI, com isso encontraremos os valores de C1 e C2


$\displaystyle \mathsf{ \left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {\underline{-3C_1+C_2=3}}} \right. }\\\mathsf{\quad4C_1=-2}\\\\\boxed{\mathsf{C_1= -\frac{1}{2} }}\\\\\\\text{Encontrando C}_2\\\\\mathsf{- \frac{1}{2} +C_2=1}\\\\\\\boxed{\mathsf{C_2= \frac{3}{2} }}$



Portanto...


$\displaystyle \boxed{\mathsf{y = -\frac{1}{2}e^{-3x}~+~ \frac{3}{2}e^x }}$

Answer 2

Resposta:

Caso a questão peça y(n), substitua n onde for x.

Explicação passo a passo:

Exemplo: y = - 1/2e^-3(n) + 3/2e^(n).