Question

determine o valor de K para que o trinômio seja um quadrado perfeito: x²-x+k=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, JCBSM, que a resolução é simples.
Pede-se o valor de "k" para que o trinômio abaixo seja um quadrado perfeito:

x² - x + k = 0

Antes veja que um trinômio quadrado perfeito é aquele da forma:

(x+a)² ou (x-a)²

Se for (x+a)², teremos:

(x+a)² = x² + 2ax + a²

E se for (x-a)², teremos:

(x-a)² = x² - 2ax + a² .

No caso do trinômio da sua questão, como temos um sinal negativo logo no segundo fator, então é porque ele é da forma (x-a)².
Então vamos tomar (x-a)² e vamos desenvolver e igualar ao trinômio da sua questão. Assim teremos:

(x-a)² = x² - x + k ---- desenvolvendo, teremos;
x² - 2ax + a² = x² - x + k ---- agora vamos comparar os coeficientes do primeiro membro com os coeficientes respectivos do 2º membro. Assim teremos:

-2a = -1
e
a² = k

Trabalhando-se com a primeira relação acima, teremos:

-2a = - 1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:
2a = 1
a = 1/2 <--- Este seria o valor de "a".

Agora vamos para a segunda relação, que é esta:

a² = k ---- substituindo-se "a" por "1/2", teremos:
(1/2)² = k
1/4 = k ---- vamos apenas inverter, ficando:
k = 1/4 <--- Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "k" para que o trinômio da sua questão seja um quadrado perfeito.

Bem, a resposta já está dada. Agora, por mera curiosidade, vamos ver como isso é verdade, quando fizermos a = 1/2, no trionômio (x-a)².  Veja:

(x - 1/2)² = x² - 2x*(1/2) + (1/2)²
(x - 1/2)² = x² - 2x/2 + 1/4 ---- note que "2x/2 = x", após simplificarmos tudo por "2"). Assim, ficaremos com:

(x-1/2)² = x² - x + 1/4 <--- Olha aí como é verdade: como o "k" está exatamente no lugar do "1/4", então é por isso que encontramos que k = 1/4

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Para que um trinômio seja quadrado perfeito é necessário que:

   x²          -  x            +  k  = 0
   ↓                              ↓
  √x²                           √k
   x                             √k  (Multiplicar os dois e igualar ao -x)
      →→2x√k = -x ←←←
           √k = -x/2x
           √k = -1/2
         (√k)² = (-1/2)²
             k = 1/4