Question

a temperatura t de uma estufa (em graus celsius) é determinada, em função da hora h do dia, pela expressão t=-h2+24h-23.
a)
b) em que períodos do dia a temperatura é positiva? e negativa?
c)em que períodos do dia a temperatura é crescente? e decrescente?
d) em que horário a temperatura é máxima? qual é a temperatura máxima?

Answer 1

b)
Como se trata de uma função do segundo grau, o gráfico dessa função será uma parábola. Como o coeficiente a<0, terá concavidade voltada para baixo. O valor positivo da função estará entre as raízes x₁ e x₂, para encontra-los faz-se:

$t = -h^2 + 24h - 23 \\ \\ \boxed{t = 0} \\ \\ -h^2 + 24h - 23 = 0 \\ \\ h = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a\cdot c} }{2a} \\ \\ h = \frac{-24 +- \sqrt{(-24)^2 - 4\cdot (-1)\cdot(-23)} }{-2\cdot -1} \\ \\ h = \frac{-24 +- \sqrt{484} }{-2} \\ \\ h = \frac{-24 +-22 }{-2} \\ \\ \boxed{\boxed{h_1 = 1}} \\ \\ \boxed{\boxed{h_2 = 23}}$

A temperatura será positiva no intervalo 1 < h < 23

c)
A função será decrescente até a metade da parábola, ou seja, até o ponto equidistante entre as duas raízes (1 e 23). Para achar esse ponto, basta fazer:

$\frac{h_1 + h_2}{2} \\ \\ \frac{1 + 23}{2} \\ \\ \frac{24}{2} \\ \\ \boxed{12}$

O ponto que divide a parábola ao meio é h = 12. Como se trata de uma função com a<0, até h = 12 horas a função decresce e após h = 12 horas a função passa a ser crescente.

d)
Para sabermos a hora que se atinge a temperatura máxima, basta fazer o Xv ("xis" do vértice), então:

$X_v = -\frac{b}{2a} \\ \\ X_v = - \frac{24}{2\cdot (-1)} \\ \\ X_v = - \frac{24}{-2} \\ \\ \boxed{\boxed{X_v = 12}}$

A hora do dia cuja temperatura é máxima é 12 horas. Note que esse é o mesmo ponto que divide a parábola ao meio.

Para saber a temperatura máxima, basta substituir "h" por 12 na equação:

$t = -h^2 + 24h - 23 \\ \\ \boxed{h=12} \\ \\ t = -12^2 + 24\cdot 12 - 23 \\ \\ t = -144 + 288 - 23 \\ \\ t = 144 - 23 \\ \\ \boxed{\boxed{t = 121}}$

Então, a temperatura máxima atingida é 121ºC.

Bons estudos!

Answer 2

Equação da parábola:

y =  ax² + bx + c
t = -h² + 24h -23

Neste caso a = -1 ------ Concavidade virada para baixo

Raízes:

Δ = (24)² -4.(-1)(-23) = 576 - 92 = 484

x' = [-24 + √484]/2(-1) = [-24 + 22]/-2 = -2/-2 = 1
x" = [-24 - 22]/-2 = -46/-2 = 23

Vértice = {-b/2a ; -Δ/4a}

Vértice = {-(24/2.(-1)  ;    -484/4.(-1)}
Vértice = {    12            ;    121  }

a) Com as características definidas acima a temperatura é positiva no intervalo de 1h às 23h e negativa das 23 a 24h ou 0h a 1h.

b) A temperatura cresce de t = 0 até o valor máximo  (X do vértice) = 12h
    A temperatura decresce a partir das 12h.

c) A temperatura é máxima as 12h (X do vértice);
   A temperatura máxima é dada pelo Y do vértice: -Δ/4a = -484/4.(-1) = 121°C

A temperatura é absurda. Deve estar ocorrendo algum equívoco na equação.