Question

Carlos tem 10 anos a mais que José e os dois fazem aniversário no mesmo dia. O número N equivale à diferença entre o quadrado da idade de Carlos e o produto da idade de José por 30.
O menor valor possível para o número N é

Answer 1

Um sistema pode ser desenvolvido pelo enunciado

$\begin{cases} C=J+10\\ N=C^2-30J \end{end}$

Onde C é a idade de Carlos e J a idade de José.

A idade de Carlos está em função da idade de José e podemos substituir na segunda equação.

$N=C^2-30J\\ N=(J+10)^2-30J\\ N = J^2+20J+100-30J\\ N = J^2-10J+100$

Os valores de N está sob o domínio de uma função quadrática. Como o problema quer saber o menor valor de N então precisamos encontrar a coordenada do vértice da função (x,y) onde y é o valor de N

$vertice = ( \frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a})$

a = 1
b = -10
Δ = ? 

Vamos encontrar o valor de Δ

Δ = b² - 4(a)(c)
Δ = (-10)² - 4(1)(100)
Δ = -300

Agora vamos calcular a coordenada do vértice

$V=( \frac{10}{2} , \frac{300}{4} )\\\\ \boxed{V=( 5 , 75 )}$

O menor valor de N é 75