Question

Os pontos A(3,13) e C(19,1) são vértices opostos do quadrado ABCD. Qual é a equação da circunferência circunscrita a esse quadrado?

Answer 1

Se a circunferência está circunscrita ao quadrado, os vértices A, B, C e D pertencem à ela. Como o vértice A é oposto à C, temos que $\overline{AC}$ é o diâmetro da circunferência, logo o centro pode ser obtido através do ponto médio $M$ do segmento $AC$,

$M=\left(\dfrac{x_A+x_C}{2},\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$
$M=\left(\dfrac{3+19}{2},\dfrac{13+1}{2}\right)$
$M=\left(11,7\right)$

Para determinar a equação, será necessário (além da coordenada do centro), o tamanho do raio (metade do tamanho do diâmetro). Então, calculando a distância entre os pontos A e C, 

$d_{\overline{AC}}=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}$
$d_{\overline{AC}=\sqrt{(3-19)^2+(13-1)^2}$
$d_{\overline{AC}=\sqrt{16^2+12^2}$
$d_{\overline{AC}=\sqrt{256+144}}$
$d_{\overline{AC}=\sqrt{400}=20$, ou seja o raio mede $\dfrac{20}{2}=10$.

Portanto, a equação da circunferência circunscrita ao quadrado ABCD, será dada por

$(y-y_M)^2+(x-x_M)^2=r^2$
$(y-7)^2+(x-11)^2=10^2$
$(y-7)^2+(x-11)^2=100$

Se quiser a resposta final tendo desenvolvido os produtos notáveis, será
$y^2-14y+49+x^2-22x+121=100$
$y^2+x^2-14y-22x+70=0$