Question

Determine k de modo que o sistema admita solução única:
kx+2y-z=0
x-3y+z=0
x+2z=2

Answer 1

$\begin{cases} kx+2y-z=0 \\ x-3y+z=0 \\ x+2z=2 \\ \end{cases}\\\\\\ \textrm{Para que o sistema em quest\~ao seja um}\\ \mathrm{SPD,\ o\ determinante\ D\ deve\ ser\neq 0:}\\\\ \mathrm{D=\left|\begin{array}{ccc}k&2&-1\\1&-3&1\\1&0&2\end{array}\right|\neq0}\\\\\\ \mathrm{k.(-3).2+2.1.1+(-1).1.0-(-1).(-3).1-k.1.0-2.1.2\neq0}\\\\ \mathrm{-6k+2-3-4\neq0\ \to\ -6k-5\neq0}\\\\ \mathrm{-6k\neq5\ \to\ \boxed{\mathbf{k\neq\dfrac{-5}{6}}}}$

$\textrm{Portanto, para qualquer valor de}\ \mathrm{k\neq\dfrac{-5}{6},}\\ \textrm{o sistema admitir\'a solu\c{c}\~ao\ \'unica.}$