Question

Classifique r e s conforme a posição relativa
A= (r) x-5y+3=0 (s) 5x+y-1=0
B=(r) 4x+3y-2=0 (s) 3x-4y+1=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Neto, que a resolução é simples.
Pede-se para classificar, conforme as suas respectivas posições relativas,  as retas "r" e "s" nos seguintes casos:

a) reta "r": x - 5y + 3 = 0; e reta "s": 5x + y - 1 = 0
Veja: para que possamos dar suas posições relativas, teremos que encontrar, em cada uma, o coeficiente angular da reta "r" (mr) e da reta "s" (ms).
Para encontrar o coeficiente angular de cada uma das retas, deveremos isolar "y", pois o coeficiente angular será o coeficiente de "x" após havermos isolado "y". Assim teremos:

a.i) Isolando "y" na reta "r", que é esta:

x - 5y + 3 = 0
- 5y = - x - 3 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
5y = x + 3
y = (x+3)/5 ---- ou, dividindo-se cada fator por "5", teremos:
y = x/5 + 3/5

Assim, o coeficiente angular da reta "r" (mr) será 1/5, que é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y".
Logo, já sabemos que:

mr = 1/5

a.ii) Isolando "y" na reta "s", que é esta:

5x +y - 1 = 0  --- isolando "y", teremos:
y = - 5x + 1

Veja: o coeficiente angular da reta "s" (ms) é igual a "-5", que é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y". Assim já temos que:

ms = - 5

Agora veja isto e não esqueça mais: quando o produto entre dois coeficientes angulares dá igual a "-1", então é porque essas duas retas são perpendiculares.
Então vamos multiplicar os dois coeficientes angulares encontrados (mr*ms) e ver se o produto dará igual a "-1". Fazendo isso, teremos:

mr*ms = (-1/5)*5
mr*ms = -1*5/5
mr*ms = -5/5
mr*ms = - 1 <--- Veja: como o resultado deu igual a "-1", então é porque as retas "r" (x-5y+3 = 0) e "s" (5x+y-1 = 0) são:

perpendiculares <-- Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja, esta é a posição relativa das retas "r" e "s" do item "a".


b) Reta "r": 4x+3y-2 = 0; e reta "s": 3x - 4y + 1 = 0
Vamos isolar "y" em cada uma delas para saber qual é o coeficiente angular de cada uma delas.

b.i) Isolando "y" na reta "r" , que é esta:

4x + 3y - 2 = 0
3y = - 4x + 2
y = (-4x + 2)/3 ---- ou, dividindo cada fator por "3", teremos;
y = -4x/3 + 2/3

Assim, como você já pode concluir, tem-se que o coeficiente angular da reta "r" (mr) é igual a "-4/3", que é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y".
Assim, o coeficiente angular da reta "r" é:

mr = - 4/3

b.ii) Isolando "y" na reta "s", que é esta:

3x - 4y + 1 = 0
- 4y = - 3x - 1 --- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos;
4y = 3x + 1
y = (3x+1)/4 --- ou, dividindo-se cada fator por "4", teremos;
y = 3x/4 + 1/4

Assim, o coeficiente angular da reta "s" (ms) é igual a "3/4", que é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y".
Então também já temos que:

ms = 3/4.

Agora note que o produto mr*ms vai também dar igual a "-1". Veja:

mr*ms = (-4/3)*(3/4)
mr*ms = -4*3/3*4
mr*ms = -12/12
mr*ms = - 1 <--- Como o produto entre os dois coeficientes angulares deu igual a "-1", então é porque as retas "r" e "s" do item "b" também são perpendiculares. Assim, temos que "r" e "s" do item "b" são:

perpendiculares ---- Esta é a resposta para a questão "b". Ou seja, a posição relativa das retas "r" e "s" da questão "b" também são perpendiculares.

Observação importante: se os coeficientes angulares fossem iguais, então as retas seriam paralelas; e se os coeficientes angulares não fossem iguais e nem os seus produtos dessem igual a "-1", então as retas seriam meras retas concorrentes (nem seriam paralelas nem seriam perpendiculares).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.