Question

Obtenha todos os pares (x, y), com x, y ∈ [0,2 π], tais que:

sen (x + y) + sen (x - y) = 1/2
sen x + cos y = 1

Answer 1

Vamos resolver usando essa relação trigonométrica


$\mathsf{\checkmark\quad sen~(a\pm b)=sen~a\cdot cos~b\pm sen~b\cdot cos~a)}$

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$\mathsf{sen(a+b)+sen(a-b)=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen~a\cdot cos~b+(sen~b\cdot cos~a)^{*}+sen~a\cdot cos~b-(sen~b\cdot cos~a)^{*}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen~a\cdot cos~b+sen~a\cdot cos~b=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{2\cdot sen~a\cdot cos~b=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen~a\cdot cos~b=\dfrac{1}{4}}$


Obs: a = x ; b = y

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Agora podemos montar um sistema com as informações que temos


$\left\{\!\begin{array}{lc}\mathsf{sen~x+cos~y=1}&\quad\mathsf{(i)}\\\\ \mathsf{sen~x\cdot cos~y=1/4}&\quad\mathsf{(ii)}\end{array}\right.$


Sabemos que a soma de dois números é igual a 1 e o produto é igual a 1/4. Logo a única possibilidade para o valor deles é 0,5 e 0,5


sen x = 0,5

cos y = 0,5


Sabemos que para seno


sen (π/6) = 0,5

sen (5π/6) = 0,5


x = {π/6, 5π/6}


Para cosseno


cos (π/3) = 0,5

cos (5π/3) = 0,5


y={π/3, 5π/3]


Portanto as possibilidades para (x, y) são:


* (π/6, π/3) 

* (π/6, 5π/3)

* (5π/6, π/3)

* (5π/6, 5π/3)


Bons estudos no Brainly! =)