Question

Dadas as funcoes f(x) = 1 / (x-2)² e g(x) = 3x, calcule os limites indicados.a) lim f(x)x->2b) lim g(x)x->2c) lim f(x) + lim g(x)x->2       x->2d)  lim f(x) x lim g(x)x->2       x->2e) lim [ f(x) ]²x->2f) lim f(x) / lim g(x)x->2       x->2

Answer 1

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}$ $\displaystyle g(x)=3x$

a)
$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=\lim_{x\to2}\frac{1}{x^2-4x+4}=\lim_{x\to2}\frac{\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}=\frac{\frac{1}{4}}{1-2+1}=\infty$

b) 
$\displaystyle \lim_{x\to2}3x=6$

c)
$\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)+\lim_{x\to2}g(x)=\infty+6=\infty$
haviamos calculado os dois primeiros limites anteriormente, o resultado é o mesmo pois limite é uma operação linear
$\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)+g(x)=\lim_{x\to2}3x+\frac{1}{(x-2)^2}=\lim_{x\to2}\frac{3x(x-2)+1}{(x-2)^2}=\infty$

d)
$\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)\cdot\lim_{x\to2}g(x)=\infty$
aqui utilizamos outra propriedade do limite que diz que o produto de dois limites é o limite do produto.

e)
$\displaystyle \lim_{x\to2}\left[\frac{1}{(x-2)}\right]^2=\left[\lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}}\right]^2=[\infty]^2=\infty$

f)
$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to2}\frac{\frac{1}{(x-2)^2}}{3x}=\frac{\lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}}{\lim_{x\to2}3x}=\frac{\infty}{6}=\infty$

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Bons estudos! :)