Question

No referencial cartesiano ortogonal usual, a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são as interseções de cada uma das retas x+y-1=0 e x+y+1=0 com a circunferência x²+y²=25, calculada com base na unidade de comprimento (u.c) adotada no referencial cartesiano considerado, é:A) 16 (u.c)²B) 14 (u.c)²C) 18 (u.c)²D) 20 (u.c)²

Answer 1

(Reta 1 : r1)
x + y - 1 = 0
y = -x + 1

(Reta 2 : r2)
x + y + 1 = 0
y = -x - 1

(Circunferência : c1)
x² + y² = 25
y² = 25 - x²
y = √(25 - x²)

Agora vamos calcular a r1 ∩ c1. Isso significa que os pontos (x, y) são os mesmos, ou seja:
-x + 1 = √(25 - x²)
(-x + 1)² = √(25 - x²)²
x² - 2x + 1 = 25 - x²
2x² - 2x - 24 = 0
x² - x - 12 = 0
(x + 3)(x - 4) = 0

x' = -3 ⇒ y' = -(-3) + 1 = 4
x'' = 4 ⇒ y'' = -4 + 1 = -3

Os pontos de interssecção de r1 e c1 são:
A = (-3, 4)
B = (4, -3)

Agora vamos calcular a r2 ∩ c1. Isso significa que os pontos (x, y) são os mesmos, ou seja:
-x - 1 = √(25 - x²)
(-x - 1)² = √(25 - x²)²
x² + 2x + 1 = 25 - x²
2x² + 2x - 24 = 0
x² + x - 12 = 0
(x - 3)(x + 4) = 0

x' = 3 ⇒ y' = -3 - 1 = -4
x'' = -4 ⇒ y'' = -(-4) - 1 = 3

Os pontos de interssecção de r1 e c1 são:
C = (3, -4)
D = (-4, 3)

Então o quadrilátero formado por r1 ∩ c1 e r2 ∩ c1 tem os vértices em
A = (-3, 4)
B = (4, -3)
C = (3, -4)
D = (-4, 3)

Perceba que o segmento AC e BD são as diagonais do quadrilatero formado pelos pontos A, B, C e D pois seus valores do par ordenado estão trocados e multiplicado por -1, logo queremos a distância dos segmentos AB e BC.

Calculando a distância entre os pontos A e B
d² = (-3 - 4)² + (4 + 3)²
d² = (-7)² + 7²
d = √98

Calculando a distância entre os pontos B e C
d² = (4 - 3)² + (-3 + 4)²
d² = 1² + 1²
d = √2

Os segmentos valem
AB = √98 u.c
BC = √2 u.c

Multiplicando AB x BC temos que
(√98 u.c) x (√2 u.c) =
√196 u.c² = 
14 u.c²  

Resposta B

ps.: para calcular a área do quadrilatero você pode também utilizar matrizes calculando pelo módulo do determinante das coordenadas de três pontos quaisquer.