Question

Seja A o conjunto de todos os valores k para os quais a equação, em x, logx-3 (5-x)=k admite uma raiz inteira.O número de elementos de A é igual a:

Answer 1

Essa é uma pergunta do vestibular da ESPM, só não lembro o ano. Ela parece difícil mais é facílima, basta se lembrar da condição de existência dos logaritmos, que você vê logo no início da matéria e muitos professores não o ensina pois não o acha importante. Abaixo a resolução:
Considere:
㏒ₐᵇ = x ∴ aˣ = b
Para que o log exista é preciso obedecer certas condições, as condições de existência, que são:
b (logaritmando) > 0
a (base) > 0 e a (base) ≠ 1
voltando a questão temos a seguinte equação:
㏒ₓ₋₃(5-x) = K
No enunciado ele pergunta quantos valores de x pelas condições de existência tanto do logaritmando quanto da base podem ser colocados num conjunto A, sendo que seus elementos só podem ser números inteiros
Então temos:
(x-3) > 0 ∴ x > 3
x - 3 ≠ 1 ∴ x ≠ 1+3 ∴ x ≠ 4
5 - x > 0 ∴ X < 5
Logo
3 > x < 5 e x ≠ 4
Pelas condições impostas ao conjunto A, de que ele só pode ser formado por números inteiros, chegamos a conclusão que ele é um conjunto vazio ( A = ∅)
E como todo conjunto vazio possui zero elementos, concluimos que o número de elementos do conjunto A é igual a 0. Alternativa A. 
Abraço e bons estudos.