Question

UFES)Três recipientes têm a forma de um cilindro circular reto. As medidas, em centímetros, dos seus raios são r, 3r/4 e 4, e das suas alturas são r, 4 e r, respectivamente. Se V, W e X representam os respectivos volumes, em centímetros cúbicos, e se 4V = 16W + 9X então W - X é igual a:
a) 64π b) 100π c) 120π d) 132π e) 144π

Answer 1

Começemos por estabelecer a expressão que define o volume V de um cilindro reto:

$\displaystyle V = \pi r^2 \cdot h$

Em seguida calculamos os volumes V, W e X pedidos na questão:

$\displaystyle V = \pi \cdot r^2 \cdot r \\ \quad \\ V = r^3 \pi$

$\displaystyle W = \pi \cdot \left( \frac{ 3r }{ 4 } \right)^2 \cdot 4 \\ \quad \\ W = \frac{ 9r^2 \cdot \pi \cdot 4 }{ 16 } \\ \quad \\ W = \frac{ 9r^2 \pi }{ 4 }$

$\displaystyle X = \pi \cdot 4^2 \cdot r \\ \quad \\ X = 16r \pi$

Como 4V = 16W + 9X, temos que:

$\displaystyle 4 \cdot r^3 \pi = 16 \cdot \frac{ 9r^2 \pi }{ 4 } + 9 \cdot 16r \pi$

$\displaystyle 4 \cdot r^3 \pi = 4 \cdot 9r^2 \pi + 9 \cdot 16r \pi$

$\displaystyle r^3 \pi = 9r^2 \pi + 9 \cdot 4r \pi$

$\displaystyle r^3 = 9r^2 + 36r$

Dividimos os membros por r:

$\displaystyle r^2 - 9r - 36 = 0$

Por ser uma equação quadrática, usamos Bhaskara no qual Δ será:

Δ = (– 9)² – 4.(1).(– 36) = 81 + 144 = 225

$\displaystyle r = \frac {9 \pm 15}{2}$

$\displaystyle r' = \frac{ 9 + 15 }{ 2 } = 12$

$\displaystyle r'' = \frac{ 9 - 15 }{ 2 } = -\not {3 }$

Como r é um valor positivo – pois estamos trabalhando com sólidos espaciais – r = 12 cm.

Dessa forma, podemos estabelecer a diferença W - X:

$\displaystyle W - X = \frac{ 9r^2 \pi }{ 4 } - 16r \pi$

$\displaystyle W - X = \frac{9 \cdot 12^2 \cdot \pi}{4} - 16 \cdot 12 \cdot \pi$

$\displaystyle W - X = \frac{ 9 \cdot 144 \cdot \pi }{4 } - 192 \pi$

$\displaystyle W - X = 9 \cdot 36 \cdot \pi - 192 \pi$

$\displaystyle W - X = 324 \pi - 192 \pi$

$\displaystyle W - X = 132 \pi \, \, cm^3$

Item d.

---------------------------