Question

(Ita) Dado um prisma hexagonal regular, sabe
-
se
que sua altura mede 3cm e que sua área lateral é o
dobro da área de sua base. O volume deste prisma,
em cm¤, é:
a) 27\/3
b) 13\/2
c) 12
d) 54\/3
e) 17\/5

Answer 1

Dados do problema:

→ h = 3 cm
→ Aℓ = 2 • Ab

De início, vamos definir a área lateral Aℓ desse sólido, que equivale a seis vezes o produto de de sua altura h pela aresta ℓ de sua base:

$\displaystyle A_{l} = 6 \cdot h \cdot l$

$\displaystyle A_{l} = 6 \cdot 3 \cdot l$

$\displaystyle A_{l} = 18l \, \, cm^2$

Em seguida estabelecemos a área Ab da base do sólido, que é um hexágono.

Como um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros e a área desse é dado por (ℓ²√3) / 4, temos que:

$\displaystyle A_b = 6 \cdot \frac{ l^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} }{ 4 }$

$\displaystyle A_b = 3 \cdot \frac{ l^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} }{2} \, \, cm^2$

Já que Aℓ = 2 • Ab, fazemos:

$\displaystyle 18l = \not2 \cdot 3 \cdot \frac{ l^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} }{\not2}$

$\displaystyle 18l = 3l^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

Dividimos ambos os membros por ℓ:

$\displaystyle 18 = 3l \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle 3l \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} = 18$

$\displaystyle l \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} = \frac{ 18 }{3}$

$\displaystyle l \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} = 6$

$\displaystyle l = \frac{ 6 }{ \sqrt[]{3} } \cdot \frac{ \sqrt[]{3} }{ \sqrt[]{3} }$

$\displaystyle l = \frac{6 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}}{3}$

$\displaystyle l = 2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \, \, cm$

Com o valor de ℓ podemos achar o volume V do prisma multiplicando Ab com h:

$\displaystyle V = A_b \cdot h$

$\displaystyle V = 3 \cdot \frac{ l^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} }{2} \cdot 3$

$\displaystyle V = 9 \cdot \frac{ (2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3})^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} }{2}$

$\displaystyle V = \frac{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sqrt[]{3} }{ 2 }$

$\displaystyle V = 9 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[]{3}$

$\displaystyle V = 54 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \, \, cm^3$

Alternativa d.

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Answer 2

O volume deste prisma é de $54\sqrt{3}$ cm³. Alternativa d.

Prisma hexagonal regular

Um prisma regular hexagonal é formado por uma base hexagonal, ou seja, uma figura plana de 6 arestas.

A área da base nesse sólido é definida pela fórmula:

$A_b=\frac{3l*\sqrt{3} }{2}$

Em que l é a medida da aresta da base.

A área lateral desse prisma é definida pela soma de 6 retângulos de dimensões l x h. Onde l representa a aresta da base e h representa a medida da altura. A fórmula que descreve a área lateral é:

$A_l=6*l*h$

O volume desse prisma é definido pela fórmula:

$V=A_b*h$

Onde h representa a altura do prisma.

Do problema, é tido que a área lateral ($A_l$) do prisma é o dobro da área da base, isto é, $A_l=2*A_b$. Dado que a altura do prisma é h = 3 cm, a área lateral é:

$A_l=6*3*l=18l$

A área da base, por sua vez, é:

$A_b=\frac{3l^2\sqrt{3} }{2}$

Partindo da igualdade  $A_l=2*A_b$, tem-se:

$18l=2*\frac{3l^2\sqrt{3} }{2} -- > 18l=3l^2\sqrt{3}-- > \frac{18}{3} l=l^2\sqrt{3}-- > 6l=l^2\sqrt{3}-- > 6=\frac{l^2\sqrt{3} }{l}-- > 6=l\sqrt{3}-- > l=\frac{6}{\sqrt{3} }= \frac{6}{\sqrt{3} }*\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} }-- > l=\frac{6\sqrt{3} }{3}=2\sqrt{3}$

Daí, é tido que a medida da aresta da base é l = $2\sqrt{3}$. Daí, sabendo que a altura é h = 3, o volume desse prisma é:

$V=A_b*h=\frac{3l^2\sqrt{3} }{2}*3=\frac{3*(2\sqrt{3})^2*\sqrt{3} }{2}*3=9*\frac{4*3*\sqrt{3} }{2}-- > V=\frac{108}{2}*\sqrt{3}=54\sqrt{3}$

Logo, o volume do prisma é igual a $54\sqrt{3}$ cm³.

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