Question

( EMF - PR ) Se o desenvolvimento de
( 2x + y )6 é ( 2x +y)6 = 64x6 + 192x5y + ax4y2 + ...+ bxy5 + y6, então a razão a/b vale:

obs: Preciso com os cálculos.

Answer 1

Nessa questão, usamos o termo geral do Binômio de Newton:

$\displaystyle T_{p + 1} = {n \choose p} \cdot a^{n-p} \cdot b^p$

No qual T é um termo qualquer, n é o expoente binomial, p é um valor dependente, e a e b são, respectivamente, o primeiro e segundo termos do binômio.

Em qualquer binômio desse tipo, o número total de termos em seu desenvolvimento equivale a n + 1, nesse caso, 7.

Portanto, ax⁴y² e bxy⁵ são, respectivamente, o terceiro e sexto termos do desenvolvimento.

Para achar os coeficientes a e b aplicamos a fórmula posta anteriormente:

$\displaystyle T_{p + 1} = {n \choose p} \cdot a^{n-p} \cdot b^p$

$\displaystyle T_{2 + 1} = {6 \choose 2} \cdot (2x)^{6-2} \cdot y^2$

$\displaystyle T_{3} = C_{6,2} \cdot (2x)^{4} \cdot y^2$

$\displaystyle T_{3} = \frac{ 6! }{ 2! \cdot (6-2)! } \cdot 16x^4 \cdot y^2$

$\displaystyle T_{3} = \frac{ 6 \cdot 5 \cdot 4! }{ 2! \cdot 4! } \cdot 16x^{4}y^2$

$\displaystyle T_{3} = \frac{ 6 \cdot 5}{ 2} \cdot 16x^{4}y^2$

$\displaystyle T_{3} = \frac{30}{ 2} \cdot 16x^{4}y^2$

$\displaystyle T_{3} = 15 \cdot 16x^{4}y^2$

$\displaystyle T_{3} = 240x^{4}y^2$

Agora T₆:

$\displaystyle T_{5 + 1} = {6 \choose 5} \cdot (2x)^{6-5} \cdot y^5$

A combinação de n + 1 elementos tomados n a n é sempre n + 1, ou seja, C₆,₅ = 6.

$\displaystyle T_{6} = 6 \cdot 2x \cdot y^5$

$\displaystyle T_{6} = 12xy^5$

Dessa forma,

$\displaystyle 12xy^5 = bxy^5$

$\displaystyle b = 12$

E

$\displaystyle 240x^{4}y^2 = ax^{4}y^2$

$\displaystyle a = 240$

Com os valores de a e b em mãos, podemos achar sua razão:

$\displaystyle \fbox{ \frac{ a }{ b } = \frac{ 240 }{ 12 } = 20 }$

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