Question

unindo-se um ponto P de uma semicircuferencia as extremidades do diâmetro,obtemos um triângulo retângulo de catetos iguais a 9 cm e 12 cm, respectivamente. Determine a razão entre a área do círculo e a área do triângulo.

Answer 1

A hipotenusa do triângulo – que é o diâmetro – pode ser definida com o teorema de Pitágoras:

h² = 9² + 12²
h² = 81 + 144
h = √225
h = 15 cm

A área de um triângulo é metade do produto de sua base pela sua altura:

$\displaystyle A_t = \frac{ 9 \cdot 12 }{ 2 } = 54 \, \, cm^2$

A área de um círculo é πr² e já que o diâmetro vale 15 cm, o raio vale metade: 7,5 cm ou 15/2. Portanto:

$\displaystyle A_c = \left( \frac{ 15 }{ 2 } \right)^2 \cdot \pi = \frac{ 225 \pi }{ 4 } \, \, cm^2$

Portanto a razão Ac/At é:

$\displaystyle \frac{A_c }{ A_t} = \frac{ \frac{ 225 \pi }{ 4 }}{ 54} = \frac{ 225 \pi }{ 4 } \cdot \frac{ 1 }{ 54 } = \\ \quad \\ = \frac{ 225 \pi }{ 216 } = \frac{ 75 \pi }{ 72 } = \frac{ 25 \pi }{ 24 }$

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