Question

(IMT) O ∆ABC é retângulo e isósceles (AB = AC, BAC = 90º). Dado BC=l√2, determinar a área do ∆AB'C' equilátero e inscrito no ∆ABC com o lado B’C’ sobre o lado BC

Answer 1

Está implícito, mas o problema pede que determinemos a área S do △AB'C' em função do lado ℓ do triángulo que o inscreve.

Como △ABC é isósceles, seus catetos medirão ℓ.

Olhemos para o triângulo ABB'. Um de seus ângulos mede metade da diferença entre 90° e o ângulo ∠A do △AB'C'. E como o △AB'C' é equilátero, seus três ângulos internos medirão 60° cada, portanto, ∠A = 60°.

Portanto, temos que ⍺ = (90 - 60) / 2 = 15° é um ángulo de ABB'.

Outro ângulo seu é 45° pois o △ABC é isósceles e dois de seus ângulos valerão 45°.

Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, temos que o terceiro ângulo de ABB' será 180 – 45 – 15 = 120°.

Sabendo que o lado AB mede ℓ e adimitindo que AB' vale ℓ', podemos usar a Lei dos Senos para escrever ℓ' em função de ℓ:

$\displaystyle \frac{ l'}{ sen \, \, 45^{\circ} } = \frac{l }{ sen \, \, 120^{\circ} }$

Como o seno de um ângulo obtuso é igual ao seno de seu suplemento, sen 120° = sen 60°.

Fazendo meio pelos extremos, temos:

$\displaystyle l' \cdot sen \, \, 60^{\circ} = l \cdot sen \, \, 45^{\circ}$

$\displaystyle l' \cdot \frac{ \sqrt[]{3} }{ 2 } = l \cdot \frac{ \sqrt[]{2} }{ 2 }$

$\displaystyle l' \cdot \sqrt[]{3} = l \cdot \sqrt[]{2}$

$\displaystyle l' = \frac{l \cdot \sqrt[]{2} }{ \sqrt[]{3} }$

$\displaystyle l' = \frac{l \cdot \sqrt[]{2} }{ \sqrt[]{3} } \cdot \frac{ \sqrt[]{3} }{ \sqrt[]{3}}$

$\displaystyle l' = \frac{l \hspace{0,07cm} \sqrt[]{6}}{3}$

Com ℓ' em função, podemos achar a área S de AB'C', que por ser equilátero, possui a seguinte fórmula para sua área:

$\displaystyle S = \frac{ l' \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} }{ 4 }$

$\displaystyle S = \frac{ \left( \frac{l \hspace{0,07cm} \sqrt[]{6}}{3} \right)^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} }{ 4 }$

$\displaystyle S = \frac{ \frac{l^2 \cdot 6 \cdot \sqrt[]{3} }{ 9 } }{ 4 }$

$\displaystyle S = \frac{ l^2 \cdot 2 \cdot \sqrt[]{3} }{ 3 } \cdot \frac{ 1 }{ 4 }$

$\displaystyle S = \frac{ l^2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} }{ 6}$

---------------------------