Question

Uma esfera é lançada a partir do solo para cima, formando um ângulo de 20 graus com a horizontal. A aceleração da gravidade local é g= 10m/s^2 e a velocidade é de 350 m/s. Determine o s itens pedidos a seguir:
Obs: considere Sen 20 = 0,34, e Cos 20= 0,94

a) Quais são as equações horárias do movimento com relação a horizontal (x) e Vertical (y)?
b) quanto tempo leva para a esfera atingir o solo?
c) qual a altura máxima?
d) Ao atingir o solo, qual será o alcance da esfera com relação ao ponto de lançamento?

Answer 1

Primeira coisa que vamos fazer é considerar que a bolinha esférica terá um vetor posição durante o lançamento que chamaremos de $\vec{r}$
esse vetor será dado pelas coordenadas x e y:
$\vec{r}(t)=(x(t),y(t))$
Sabemos que a taxa de variação de r em relação ao tempo nos dá o vetor velocidade
$\displaystyle \frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}(t)$
Decompomos o vetor velocidade em t = 0:
$v_{x_0}=v_0\cos \theta\\\\v_{y_0}=v_0\sin\theta$
o problema informa que $v_0=350~m/s$
e $\sin~20\º=0,34\\\\\cos~20\º=0,94$
então:
$v_{x_0}=329~m/s\\\\v_{y_0}=119~m/s$

preste atenção nessa parte!!!
Se considerarmos um caso real, a componente x será um movimento retardado onde a velocidade decai com o tempo, a razão desse decaimento de velocidade é por causa do atrito com o ar (viscosidade do ar), mas para um caso ideal, onde não há viscosidade com o ar, o tipo de movimento descrito pela componente x é um MRU com velocidade constante de 329 m/s.
Já a componente vertical (y) é um MRUV cuja aceleração é a aceleração do campo gravitacional, com velocidade inicial 119 m/s.
Encontramos então por meio da integração as seguintes equações:
$\displaystyle v_{x}(t)=v_{x_0}\implies x(t)=\int v_{x}dt\\\\i)~~~~x(t)=\int v_{x_0}dt=\boxed{v_{x_0}t+x_0}$
e
$\displaystyle v_{y}(t)=v_{y_0}\pmgt\\\\y(t)=\int (v_{y_0}+gt)dt=\boxed{v_{y_0}t+\frac{1}{2}gt^2+y_0}$
que são as equações de movimento (perceba que $x_0=0$ e $y_0=0$ pois o problema não considerou uma altura inicial, tomando o ponto de partida como sendo 0, o +/- da equação da velocidade y significa que quando a bolinha sobe a gravidade se opõe ao movimento e quando a bolinha cai a gravidade favorece o movimento)
$\boxed{y(t)=119t\pm\frac{1}{2}10t^2}\\\boxed{x(t)=329t}$

b)
vamos estudar a equação de $v_y(t)$ que encontramos no problema anterior.
Sabemos que a altura máxima é o ponto onde a velocidade se anula, certo?
E que o tempo que a bolinha leva para subir é o mesmo que ela necessita para retornar ao ponto inicial.
Então precisamos saber quanto vale o t para v=0:
$\displaystyle i)~~~~0=119-10t\\\\ii)~~~10t=119\\\\iii)~~t=\frac{119}{10}s=11,9s$
a esfera leva 11,9s para alcançar o máximo e mais 11,9s para chegar ao chão, então:
$\boxed{t=23,8s}$
a bolinha leva 23,8 segundos para retornar ao solo

c) a altura máxima é o valor da função y(t) no ponto máximo (em 11,9 segundos, como verificamos no item anterior):
$\displaystyle y(11,9s)=119\cdot 11,9-\frac{1}{2}10(11,9)^2=708,05m$

d)
a componente x continua se movendo em linha reta, certo? então só precisamos saber quanto tempo a bolinha leva para subir e descer (que calculamos ser 23,8s)
logo:
$x(23,8)=329(23,8)=7830,2m\approx 7,8km$

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Bons estudos!