Question

As extremidades de um diâmetro de uma circunferência são (-3, 1) e (5, -5).
Determine a equação da circunferência.

Answer 1

Vamos definir o centro da circunferência através do cálculo do ponto médio entre os ponto (-3, 1) e (5, -5).

Xm = (x₁ + x₂) / 2
Xm = (-3 + 5) / 2
Xm = 2 / 2
Xm = 1

Ym = (y₁ + y₂) / 2
Ym = (1 + (-5)) / 2
Ym = (-4) / 2
Ym = -2

Portanto, o ponto médio entre os pontos (-3, 1) e (5, -5) é o ponto (1, -2), ou seja, o ponto (1, -2) é o centro da circunferência.

Agora vamos determinar o diâmetro da circnferência através da distância "d" entre os ponto (-3, 1) e (5, -5).

d² = Δx² + Δy²
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d² = (5 - (-3))² + ((-5) - 1)²
d² = (5 + 3)² + (-5 - 1)²
d² = (8)² + (-6)²
d² = 64 + 36
d² = 100
d = √100
d = 10

Portanto, o diâmetro da circunferência é 10, assim, o raio da circunferência é metade desse valor, ou seja, o raio da circunferência vale 5.

Com isso, lembre-se que uma circunferência de centro no ponto (a, b) e raio "r" terá a seguinte equação.

(x - a)² + (y - b)² = r²

Assim, como a nossa circunferência possui centro no ponto (1, -2) e raio 5, teremos a seguinte equação.

(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - (1))² + (y - (-2))² = (5)²
(x - 1)² + (y + 2)² = 25