Question

Um homem entra num pomar , depois de passar por '' n '' portas . e colhe um certo número de maçãs . Quando deixa o pomar ele dá ao primeiro guarda metade das maçãs que tinha , mais uma . Ao segundo guarda ele dá metade das maças restantes , mas uma . Depois de fazer o mesmo com cinco guardas que ainda faltavam , ele se encontra com uma maça . Encontre a fórmula fechada que forneça quantas maçãs ele terá apos passar por uma determinada porta .

Answer 1

De acordo com o enunciado, o homem colhe certa quantidade de maçãs no pomar, e volta passando por  7  portas, onde em cada porta há um guarda. Após passar pela n-ésima porta, o homem dá ao guarda metade das maçãs que tinha, mais uma.

Considere  f  a função que fornece o número de maçãs que o homem possui. Dessa forma,

•   f(0)  é a quantidade de maçãs que ele colheu;

•   A quantidade de maçãs restantes após o homem passar pela  n-ésima porta é

     f(n) = f(n – 1) – [(1/2) · f(n – 1) + 1]
     f(n) = f(n – 1) – (1/2) · f(n – 1) – 1
     f(n) = (1/2) · f(n – 1) – 1          para   n = 1 ... 7

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Vamos descrever o que ocorre conforme o homem passa por cada uma das portas

     •   f(1) = (1/2) · f(0) – 1

     •   f(2) = (1/2) · f(1) – 1
         f(2) = (1/2) · [(1/2) · f(0) – 1] – 1
         f(2) = (1/2)² · f(0) – (1/2) – 1

     •   f(3) = (1/2) · f(2) – 1
         f(3) = (1/2) · [(1/2)² · f(0) – (1/2) – 1] – 1
         f(3) = (1/2)³ · f(0) – (1/4) – (1/2) – 1


Note que ao final sempre aparece a soma de uma P.G. de razão  1/2, com  n  termos. Observando o padrão que se segue, inferimos a seguinte fórmula:

     $\mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot f(0)-\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(1/2)^k}\\\\\\ \mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot f(0)-\dfrac{(1/2)^k}{(1/2)-1}\bigg|_{k=0}^{k=n}}\\\\\\ \mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot f(0)-\dfrac{(1/2)^n-(1/2)^0}{-1/2}}\\\\\\ \mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot f(0)-(-2)\cdot [(1/2)^n-1]}\\\\ \mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot f(0)+2\cdot [(1/2)^n-1]}\\\\ \mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot f(0)+2\cdot (1/2)^n-2}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot [f(0)+2]-2}\end{array}}\qquad\quad\mathsf{n=0\ldots 7}$


A fórmula destacada acima fornece a quantidade de maçãs que restam após ele passar pela n-ésima porta. É fácil verificar que ela satisfaz a relação de recorrência

     f(n) = (1/2) · f(n – 1) – 1

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De forma adicional, podemos encontrar quantas maçãs foram colhidas inicialmente.

Se após passar por  7  portas sobra  1  maçã, então temos que

     $\mathsf{f(7)=1}\\\\ \mathsf{(1/2)^7\cdot [f(0)+2]-2=1}\\\\ \mathsf{(1/128)\cdot [f(0)+2]=1+2}\\\\ \mathsf{(1/128)\cdot [f(0)+2]=3}\\\\ \mathsf{f(0)+2=3\cdot 128}\\\\ \mathsf{f(0)+2=384}\\\\ \mathsf{f(0)=384-2}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{f(0)=382}\end{array}}$


O homem havia colhido  382  maçãs.

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Como a resposta pedida é a fórmula fechada, basta substituir  f(0) = 382, e obtemos

     $\mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot [382+2]-2}\\\\ \mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot 384-2}\\\\ \mathsf{f(n)=(1/2)^n\cdot (2^7\cdot 3)-2}\\\\ \mathsf{f(n)=2^{-n}\cdot 2^7\cdot 3-2}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{f(n)=3\cdot 2^{7-n}-2}\end{array}}\qquad\quad \mathsf{n=0\ldots 7}$   <———   esta é a resposta.
     

Bons estudos! :-)