questao 5: sabe-se que 16^x=9 e log2 na base 3=y. nessas condições, é verdade que:
a) x=2y
b) y=2x
c) xy=1/2
d) x-y=2
e) x+y=4
Anexos:
Respostas
respondido por:
11
Podemos escrever 16 como 4 elevado a 2 ou 2 elevado a 4 e 9 como 3 elevado a 2
16 = 4 elevado a 2 = 2 elevado a 4
9 = 3 elevado a 2
Logo:
16 (elevado a x) =9
(4 elevado a 2) elevado a x = 3 elevado a 2
Pela regra da potenciação:
(4 elevado a 2) elevado a x = (4 elevado a x) elevado a 2
Então:
(4 elevado a 2) elevado a x = 3 elevado a 2
(4 elevado a x) elevado a 2 = 3 elevado a 2
Se os dois lados estão elevado a 2, então:
4 elevado a x = 3
4 é o mesmo que 2 elevado a 2, logo:
4 elevado a x = 3
(2 elevado a 2) elevado a x = 3
Pela propriedade:
(2 elevado a 2) elevado a x = 3
2 elevado a 2x = 3
Passando para logaritmo:
2x = log 3 (base 2)
Passando para log, teremos: Log 2 (base 3) = y
Fazendo a mudança de bases para a base 2, teremos:
Log 2 (base 3) = Log 2(base 2)/Log 3 (base 2)
Sabemos que Log 3 (base 2) = 2x, Log 2(base 2) = 1 e Log 2 (base 3) = y, substituindo tudo teremos:
Log 2 (base 3) = Log 2(base 2)/Log 3 (base 2)
y = 1/(2x)
y.2x = 1
y.x = 1/2
Então no seu caso é a letra (C)
16 = 4 elevado a 2 = 2 elevado a 4
9 = 3 elevado a 2
Logo:
16 (elevado a x) =9
(4 elevado a 2) elevado a x = 3 elevado a 2
Pela regra da potenciação:
(4 elevado a 2) elevado a x = (4 elevado a x) elevado a 2
Então:
(4 elevado a 2) elevado a x = 3 elevado a 2
(4 elevado a x) elevado a 2 = 3 elevado a 2
Se os dois lados estão elevado a 2, então:
4 elevado a x = 3
4 é o mesmo que 2 elevado a 2, logo:
4 elevado a x = 3
(2 elevado a 2) elevado a x = 3
Pela propriedade:
(2 elevado a 2) elevado a x = 3
2 elevado a 2x = 3
Passando para logaritmo:
2x = log 3 (base 2)
Passando para log, teremos: Log 2 (base 3) = y
Fazendo a mudança de bases para a base 2, teremos:
Log 2 (base 3) = Log 2(base 2)/Log 3 (base 2)
Sabemos que Log 3 (base 2) = 2x, Log 2(base 2) = 1 e Log 2 (base 3) = y, substituindo tudo teremos:
Log 2 (base 3) = Log 2(base 2)/Log 3 (base 2)
y = 1/(2x)
y.2x = 1
y.x = 1/2
Então no seu caso é a letra (C)
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