Question

Uma circunferência tem diâmetro ab sendo a(1,-7) e b(-5,-3). obtenha o centro dessa circunferência, o raio, equação geral e reduzida

Answer 1

Vamos definir o centro da circunferência através do cálculo do ponto médio entre os ponto (1, -7) e (-5, -3).

Xm = (x₁ + x₂) / 2
Xm = (1 + (-5)) / 2
Xm = (1 - 5) / 2
Xm = (-4) / 2
Xm = -2

Ym = (y₁ + y₂) / 2
Ym = ((-7) + (-3)) / 2
Ym = (-7 - 3) / 2
Ym = (-10) / 2
Ym = -5

Portanto, o ponto médio entre os pontos (1, -7) e (-5, -3) é o ponto (-2, -5), ou seja, o ponto (-2, -5) é o centro da circunferência.

Agora vamos determinar o diâmetro da circnferência através da distância "d" entre os ponto (1, -7) e (-5, -3).

d² = Δx² + Δy²
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d² = ((-5) - 1)² + ((-3) - (-7))²
d² = (-5 - 1)² + (-3 + 7)²
d² = (-6)² + (4)²
d² = 36 + 16
d² = 52
d = √52
d = 2√13

Portanto, o diâmetro da circunferência é 2√13, assim, o raio da circunferência é metade desse valor, ou seja, o raio da circunferência vale √13.

Com isso, lembre-se que uma circunferência de centro no ponto (a, b) e raio "r" terá a seguinte equação reduzida.

(x - a)² + (y - b)² = r²

Assim, como a nossa circunferência possui centro no ponto (-2, -5) e raio √13, teremos a seguinte equação reduzida.

(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - (-2))² + (y - (-5))² = (√13)²
(x + 2)² + (y + 5)² = 13

Agora, vamos desenvolver a equação reduzida para determinar a equação geral.

(x + 2)² + (y + 5)² = 13
(x² + 4x + 4) + (y² + 10y + 25) = 13
x² + y² + 4x + 10y + 4 + 25 - 13 = 0
x² + y² + 4x + 10y + 16 = 0