Question

Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x,y,z) = 5x^2-3xy+xyz.
a) Determine a taxa de variação do potencial em P (3,4,5) na Direção do vetor v = i + j - k.
b)Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? Justifique.

Answer 1

$\text{derivada direcional}\\\\ D_{u}f(x,y,z) = \nabla f . \; \frac{\vec u}{|\vec u|} = |\nabla f |*cos(\alpha) \\\\\\\ D_{u}f(x,y,z) = \text{taxa de variacao na direcao do versor u}\\\\ \nabla f = \text{vetor gradiente}= (\frac{\partial f}{\partial x } , \frac{\partial f}{\partial y } , \frac{\partial f}{\partial z })$

aplicando isso:
temos:
$V(x,y,z) = 5x^2-3xy+xyz. \\\\ \frac{\partial V_{(x,y,z)}}{\partial x} = 10x-3y+yz\\\ \\ \frac{\partial V_{(x,y,z)}}{\partial y} =-3x+xz \\\\ \frac{\partial V_{(x,y,z)}}{\partial x} = xy\\\\\ \text{calculando as derivadas parciais no ponto P=(3,4,5)}\\\\ \frac{\partial V_{(P)}}{\partial x} = 10*3-3*4+*5=38\\\\ \frac{\partial V_{(P)}}{\partial y} =-3*3+3*5=6\\\\ \frac{\partial V_{(P)}}{\partial z} =3*4=12\\\\\ \boxed{\boxed{\nabla V_{(p)} =(38,6,12)}}$

na direção de:
$\vec v=i+j-k\\\\\vec v= (1,1,-1)\\\\|\vec v| = \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3}$

a)
colocando na formula:
$D_{u}V_{(p)} = (38,6,12). \frac{(1,1,-1)}{ \sqrt{3} } \\\\ D_{u}V_{(p)} = \frac{(38*1)+(6*1)+(12*(-1))}{ \sqrt{3} } \\\\ D_{u}V_{(p)} = \frac{38+6-12}{ \sqrt{3} } = \frac{32}{\sqrt{3}}$


b) 
como: 

$D_{u}f(x,y,z) = \nabla f . \; \frac{\vec u}{|\vec u|} = |\nabla f |*cos(\alpha) \\\\\boxed{\boxed{D_{u}f(x,y,z) = |\nabla f |*cos(\alpha) }}$

a derivada direcional tem valor máximo é quando cos(α)=1
logo ela varia mais rapidamente na direção do vetor gradiente

$D_{u}f(x,y,z)_{max} = |\nabla f |*1\\\\ D_{u}f(x,y,z)_{max} = |\nabla f |*1\\\\ D_{u}f(x,y,z)_{max} = |\nabla f |\\\\ D_{u}V(p)_{max} =(38,6,12)$