Question

(a) Mostre que o conjunto de todos os pontos no plano ax+by+cz = 0e um subespaco do IR3

Answer 1

As regras para validar um subespação são:
I) soma de dois vetores: u + v
II) multiplicação de um vetor por um escalar

Resolvendo o item I:
$u = (ax1, by1, cz1); v = (ax2, by2, cz2) u + v = (ax1, by1, cz1) + (ax2, by2, cz2) u + v = (ax1 + ax2, by1 + by2, cz1 + cz2) u + v = (a(x1 + x2), b(y1 + y2), c(z1 + z2))$
se observar a primeira componente é identica a solução inicial onde neste caso, x equivale a (x1 + x2). O mesmo ocorre com a segunda e a terceira componente.

II) multiplicar um escalar por um vetor:
$\alpha u = \alpha (ax1, by1, cz1) \alpha u = ( \alpha ax1, \alpha by1, \alpha cz1)$
olhando as componentes resultantes com a original é possível verificar a igualdade.