Question

Preciso de ajuda quanto a resolução da questão 5: Determine a derivada primeira das funções a seguir:

Answer 1

Vamos lá.

Pronto. Chegou a questão "5". Vamos encontrar as primeiras derivadas de cada uma das funções abaixo.

a) f(x) = x⁵ + 8x⁴ - 2x³ + x² - x ----- encontrando a derivada 1º de uma função, teremos (que você já sabe como proceder):

f'(x) = 5*x⁴ + 4*8x³ - 3*2x² + 2*x¹ - 1
f'(x) = 5x⁴ + 32x³ - 6x² + 2x - 1 <--- Resposta do item "a".

b) f(x) = (2x+1)*(3x²+6) ----- como está bem fácil de fazermos o produto entre esses dois fatores, teremos (veja: se não estivesse tão fácil, então iríamos pela regra do produto: u*v = u'*v + u*v' (lembra?).
Então vamos efetuar o produto entre os dois fatores acima, ficando:

f(x) = (2x+1)*(3x²+6) ---- efetuando o produto indicado, ficaremos com:
f(x) = 2x*3x²+2x*6 + 1*3x²+1*6
f(x) = 6x³ + 12x + 3x² + 6 ---- ordenando, teremos:
f(x) = 6x³ + 3x² + 12x + 6 ----- pronto. Agora encontraremos a derivada primeira desta função, ficando:

f'(x) = 3*6x² + 2*3x¹ + 1*12 + 0
f'(x) = 18x² + 6x + 12 <--- Resposta do item "b".

c) f(x) = (4-x)/(5-x²) ---- aqui vamos utilizar a regra de: f(x) = u/v = (u'.v-u.v')/v² , pois a divisão sempre é mais difícil de encontrarmos uma função única para derivar. Assim, teremos (note que u = 4-x;  e v = 5-x²):

f'(x) = [(-1)*(5-x²) - (4-x)*(-2x)]/(5-x²)²
f'(x) = [(-5+x²) - (-8x+2x²)]/(5-x²)² --- retirando-se os parênteses do numerador:
f'(x) = [-5+x² + 8x-2x²]/(5-x²)² --- reduzindo os termos semelhantes no numerador:
f'(x) = [-x²+8x-5]/(5-x²)² ---- Veja: se colocarmos o sinal de menos para antes de toda a expressão, iremos ficar assim, o que é a mesma coisa:

f'(x) = -(x²-8x+5)/(x²-5)² <--- Resposta para o item "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.