Question

Escreva os numeros na forma trigonométrica:
a) Z=-4i
b)Z=-2+2√3i

Answer 1

Pede-se para escrever, na forma trigonométrica, o seguinte complexo: 

z = 2 - 2√(3)i

Primeiro vamos encontrar qual é o módulo do complexo acima.Veja que um complexo, da forma z = a + bi, tem módulo dado assim:

|z| = √(a²+b²). 

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então o módulo do complexo z = 2 - 2√(3)i  será: 

|z| = √[2² + (-2√3)²]
|z| = √[4 + (4*3)]
|z| = √(4+12)
|z| = √(16) ------ como √(16) = 4, então teremos que: 
|z| = 4 <---- Este é o módulo do complexo da sua questão. 


Agora vamos encontrar o argumento (α). 
Antes veja que um complexo, da forma z = a + bi, que tem módulo igual a |z|, terá o argumento (α) calculado assim:

cos(α) = a/|z|
e 
sen(α) = b/|z| . 

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, e considerando que o complexo da sua questão é: z = 2 - 2√(3)i, de módulo igual a "4", então teremos que: 

cos(α) = 2/4 ---dividindo-se numerador e denominador por "2":
cos(α) = 1/2
e 
sen(α) = -2√(3)/4 --- dividindo-se numerador e denominador por "2":
sen(α) = -√(3)/2

Agora note isto: o cosseno e o seno são iguais, respectivamente, a "1/2" e "-√(3)/2" apenas no arco de 300º (ou de 5π/3 radianos). 


Antes veja que um complexo que tem módulo igual a |z| e tem argumento igual a "α", terá a seguinte forma trigonométrica: 

z = |z|*(cos(α) +- isen(α)) 

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a forma trigonométrica do complexo da sua questão, que tem módulo igual a "4" e tem argumento igual a 300º (ou 5π/3 radianos) , será esta:


i) Se preferir a forma trigonométrica em graus: 

z = 4*(cos(300º) + isen(300º))


ii) Se preferir a forma trigonométrica em radianos: 

z = 4*(cos(5π/3) + isen(5π/3))


Deu pra entender bem?