AFA-SP Sejam as sequências de números reais (-3, x, y, ...) que é uma progressão aritimética de razão r, e (x, y, 24, ...), que é uma progressão geométrica de razão q. O valor de r/q pertence ao intervalo:
a) [0 , 1/2]
b) [1/2 , 1]
c)[1, 2]
d)[3/2 , 3/5]
e)[ 2, 3 ]
Respostas
Resposta: [1,2]
Explicação passo-a-passo: numa pa o termo do meio é igual a média dos extremos, x=(-3+y)/2, numa PG o termo do meio é igual a média geométrica dos extremos y=√(24x). Resolvendo o sistema {y=√(24x) e 2x=-3+y} encontramos x=3/2 e y=6 então as sequencias são as seguintes:(-3,3/2,6) pa de razão r=9/2 e (3/2,6,24)PG de razão q=4, conclusão:r/q= (9/2)/4, que é igual a 9/8 aproximadamente 1,125 que pertence ao intervalo [1,2] letra c
O valor de r/q pertence ao intervalo:
c) [1, 2]
Progressão aritmética e geométrica
Numa progressão aritmética com um número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética dos extremos. Logo, na PG (-3, x, y, ...), temos:
x = (- 3 + y)/2.
Então, 2x = - 3 + y => y = 2x + 3.
Numa progressão geométrica com um número ímpar de termos, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos. Logo, na PG (x, y, 24, ...), temos:
y² = 24·x.
Substituindo y, temos:
(2x + 3)² = 24x
4x² + 12x + 9 = 24x
4x² + 12x - 24x + 9 = 0
4x² - 12x + 9 = 0
Resolvendo a equação do 2° grau, temos:
x = 3/2
y = 2x + 3
y = 2.(3/2) + 3
y = 3 + 3
y = 6
Portanto, cada progressão é:
- PA => (- 3, 3/2, 6, ...) => a razão é: r = 9/2;
- PG => (3/2, 6, 24, ...) => a razão é: q = 4;
Portanto, o valor de r/q será:
r = 9/2 = 9/8 = 1,125
q 4
1,125 é um número maior que 1 e menor que 2. Portanto, estão no intervalo [1, 2].
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