Question

Questão 13Em uma cidade existem três locais onde é grande o risco de incêndio: uma fábrica de tecidos (F), uma distribuidora de combustível (D) e uma usina de álcool (U).Se forem representadas no plano cartesiano, as coordenadas são: F(2,1), U(2,9) e D(20,8), com unidade em km.Por razões técnicas, o Corpo de Bombeiros deseja instalar uma brigada de incêndio em um ponto entre essas unidades, que seja equidistante da usina de álcool e da fábrica de tecidos, e a 5 km da distribuidora de combustível.Nesse caso e considerando os dados, a distância dessa unidade do CB à fabrica de tecidos deverá serA) menor que 13 km.B) entre 13 km e 14 km.C) entre 14 km e 15 km.D) maior que 15 km

Answer 1

Seja $P(x,y)$ o ponto que representa unidade do CB.

Pelo enunciado, $P(x,y)$ equidista de $U(2,9)$ e $F(2,1)$.


Com isso, $\sqrt{(x-2)^2+(y-9)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}$, donde:


$(x-2)^2+(y-9)^2=(x-2)^2+(y-1)^2$


$(y-9)^2=(y-1)^2$


$y^2-18y+81=y^2-2y+1$

$18y-2y=81-1$

$16y=80$

$y=5$


Além disso, a distância entre $P(x,5)$ e $D(20,8)$ é $5~\text{km}$.


Assim, $\sqrt{(x-20)^2+(5-8)^2}=5$. Elevando os dois lados ao quadrado, segue que:


$(x-20)^2+(5-8)^2=5^2$


$x^2-40x+400+9=25$

$x^2-40x+384=0$


$\Delta=(-40)^2-4\cdot1\cdot384=1~600-1~536=64$


$x=\dfrac{-(-40)\pm\sqrt{64}}{2}=\dfrac{40\pm8}{2}$.


$x'=\dfrac{40+8}{2}=\dfrac{48}{2}=24$ e $x"=\dfrac{40-8}{2}=\dfrac{32}{2}=16$.


Logo, $P(24,5)$ ou $P(16,5)$. Assim, a distância de $P$ à $F(2,1)$ é:


$\sqrt{(24-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{22^2+4^2}=\sqrt{484+16}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\approx25,36$

Não satisfaz as alternativas.

$\sqrt{(16-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{14^2+4^2}=\sqrt{196+16}=\sqrt{212}\approx14,56~\text{km}$.

Letra C