Question

As funções de receita marginal e custo marginal de uma
empresa são

Rmg(x)=3x²-31x+907  
e  Cmg(x)=-3x²+125-185, onde a variável
X representa a quantidade e a receita e o custo representadas em unidades
monétarias. Determine o que se pede em cada item


a)     
A função custo, sabendo que para x=06 temos o
custo igual a 1287 unidades monetárias

b)     
A variação todal no intervalo 5<x<10 (
menor ou igual)


c)      
Os pontos de máximo local,mínimo local e ponto
de inflexão da função custo, se existirem

d)     
A função receita


e)     
A função lucro


f)      
O intervalo onde o lucro é crescente


g)     
O lucro mínimo local

Answer 1

Olá, Edilaine.

$RMg(x)=3x\²-31x+907\text{ e }CMg(x)=-3x\²+125x-185$

a) A função custo, sabendo que para x=6 temos o custo igual a 1.287 unidades monetárias.

$C(x)=\int CMg(x)\,dx=\int-3x\²+125x-185\,dx=\\=-3\cdot\frac{x\³}3+125\cdot\frac{x\²}2-185x+C=-x^3+62,5x^2-185x+C\\\\\text{Como }C(6)=1.287\text{, temos:}\\\\-216+62,5\cdot36-185\cdot6+C=1.287\Rightarrow C=363\\\\\therefore\boxed{C(x)=-x^3+62,5x^2-185x+363}$

b) A variação total no intervalo 5 ≤ x ≤ 10.

$C(10)=-10^3+62,5\cdot10^2-185\cdot10+363=3.763\\ C(5)=-5^3+62,5\cdot5^2-185\cdot5+363=875,5\\ \boxed{C(10)-C(5)=2.887,5\,u.m.}$

c) Os pontos de máximo local, mínimo local e ponto de inflexão da função custo, se existirem.

$C'(x)=-3x^2+125x-185=0\Leftrightarrow3x^2-125x+185=0\Rightarrow\\\\ \Delta=(-125)^2-4\cdot3\cdot185=15.625-2.220=13.405\Rightarrow\sqrt\Delta\approx115,78\\\\ x=\frac{125\pm115,78}6\Rightarrow x_1=40,13\text{ e }x_2=1,54$

$C''(x)=-6x+125\Rightarrow\\\\ \begin{cases}C''(x_1)=-6\cdot40,13+125=-115,78<0\Rightarrow x_1\text{ \'e um m\'aximo local}\\C''(x_2)=-6\cdot1,54+125=115,76>0\Rightarrow x_2\text{ \'e um m\'inimo local}\\\end{cases}$

$C''(x)=0\Leftrightarrow-6x+125=0\Rightarrow x=\frac{125}6\text{ \'e o ponto de inflex\~ao de }C(x)$

d) A função receita.

$R(x)=\int RMg(x)=3x\²-31x+907=\int3x\²-31x+907\,dx=\\=3\cdot\frac{x\³}3-31\cdot\frac{x\²}2+907x+C=x^3-15,5x^2+907x+C\\\\\text{Como }C(6)=1.287\text{, temos:}\\\\196-15,5\cdot36+907\cdot6+C=1.287\Rightarrow C=-3.793\\\\\therefore\boxed{R(x)=x^3-15,5x^2+907x-3.793}$

e) A função lucro.

$L(x)=R(x)-C(x)=\\=x^3-15,5x^2+907x-3.793-(-x^3+62,5x^2-185x+363)\Rightarrow\\\boxed{L(x)=2x^3+78x^2+1.092x-4.156}$

f) O intervalo onde o lucro é crescente.

$L'(x)=6x^2+156x+1.092=6(x^2+26x+182)>0\Leftrightarrow\\ x^2+26x+182>0$

(1) Como Δ = 26² - 4·182 = -52 < 0, temos que a parábola L'(x) não toca o eixo x.
(2) Como o coeficiente de x² é positivo, temos que L'(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
(3) Podemos concluir, por (1) e (2), que L'(x) > 0 para qualquer x ∈ R, ou seja, a função lucro L(x) é sempre crescente, para qualquer intervalo real.

g) O lucro mínimo local.

Como a parábola L'(x) não toca o eixo x, então não existe x tal que L'(x) = 0, ou seja, não há pontos críticos em L(x). Como L(x) é sempre crescente e x ≥ 0, então o mínimo global de L(x) é L(0) = -4.156.