Question

sao dados quatro numero positivo 12 x y 4. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em pg determine a razão entre x e y

Answer 1

Pela PA temos que:

a1 = 12
a2 = x
a3 = y

Vamos considerar a razão dessa PA:

r = a2 - a1 = x - 12

e

r = a3 - a2 = y - x

Como as duas equações acima definem a razão podemos igualar as duas:

x - 12 = y - x
x - 12 + x = y
2x - 12 = y

Guarde a equação acima.

Agora pela PG, temos que:

a1 = x
a2 = y
a3 = 4

Vamos considerar a razão da PG:

q = a2 / a1 = y / x      ,para x ≠ 0

e

q = a3 / a2 = 4 / y      , para y ≠ 0

Como as duas expressões acima definem a razão da PG, podemos igualá-las:

y / x = 4 / y
y * y = 4 * x
y² = 4x

Com a equação acima e a equação obtida pela PA que foi guardada, temos um sistema de duas equações e duas icógnitas. Vejamos

y = 2x - 12
y² = 4x

Vamos substituir o valor de "y = 2x - 12" na 2ª equação para determinar o valor de "x".

y² = 4x
(2x - 12)² = 4x
4x² - 48x + 144 = 4x
4x² - 48x - 4x + 144 = 0
4x² - 52x + 144 = 0            (÷ 4)
x² - 13x + 36 = 0

a = 1
b = -13
c = 36

Δ = b² - 4ac
Δ = (-13)² - 4 * 1 * 36
Δ = 169 - 144
Δ = 25

x' = (-b + √Δ) / 2a
x' = (-(-13) + √25) / (2 * 1)
x' = (13 + 5) / 2
x' = 18 / 2
x' = 9

x'' = (-b - √Δ) / 2a
x'' = (-(-13) - √25) / (2 * 1)
x'' = (13 - 5) / 2
x'' = 8 / 2
x'' = 4

Com os valores x' = 9 e x'' = 4, vamo determinar os valores possíveis para "y".

y' = 2x' - 12
y' = 2 * 9 - 12
y' = 18 - 12
y' = 6

y'' = 2x'' - 12
y'' = 2 * 4 - 12
y'' = 8 - 12
y'' = -4

Portanto, temos duas possibilidades de solução:

Solução 1
x' = 9
y' = 6

Com isso a razão será:
x/y = x'/y' = 9/6 = 3/2

Solução 2
x'' = 4
y'' = -4

Com isso a razão será:
x/y = x''/y'' = 4 / (-4) = -1