Question

Ache o ponto simétrico de P(2, 5, 3) em relação ao plano π:x−y+z−10=0.
(x,y,z)=

Answer 1

Você pode pensar num vetor que passe pelo plano e contenha o ponto P. Este pode ser um vetor normal ao plano, que passa por P.

Seja n esse vetor normal ao plano e t um parâmetro real.

Então, a equação vetorial desse plano será:

(x,y,z) = (2,5,3) + t(1.-1,1)

Então, o único ponto pertencente ao plano, pelo qual esse vetor normal ao plano passa, é a projeção do ponto P no plano. Logo, esse ponto deve satisfazer a equação geral do plano. 
Escrevendo as equações paramétricas do vetor normal:

x = 2 + t
y = 5 - t 
z = 3 + t

Agora basta substituir na equação geral do plano:

π:x−y+z−10=0

π: (2 + t) - (5 - t) + (3 + t) - 10 = 0

π: 2 + t - 5 + t + 3 + t - 10 = 0

π: 3t - 10 = 0

π: 3t = 10

π: t = 10/3.

Agora que encontramos o valor do parâmetro, substituímos nas paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto.

x = 2 + t
y = 5 - t 
z = 3 + t

x = 2 + 10/3 = 16/3
y = 5 - 10/3 = 5/3
z = 3 + 10/3 = 19/3

Logo, o ponto simétrico, ou ponto P' = (16/3, 5/3, 19/3)

Acredito que seja isso. Se não for esse o resultado, desculpe-me; não sou muito bom em geometria analítica.